Uma esfera de raio R pode ser obtida pela rotação da região entre a função y=raizR^2-x^2 e o eixo x em torno do eixo x. Assim, o volume da esfera é dado por
integral-R^R pi(raizR^2-x^2)^2 d x=4 pi R^33

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma esfera de raio R obtido pelo método dos discos: gira-se a região limitada pela curva
y = raizR^2-x^2
e o eixo x em torno do próprio eixo x. Para isso, vamos usar a fórmula do volume por integração de áreas transversais:
V = integrala^b pil[f(x)r]^2,dx

Passo 2

Aplicando ao nosso caso, a função é f(x)=raizR^2-x^2 e os limites vão de -R a R. Logo, o volume é
V = integral-R^R pil(raizR^2-x^2r)^2 ,dx = pi integral-R^R l(R^2-x^2r),dx

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral-R^R l(R^2-x^2r),dx = integral-R^R R^2,dx ;-;integral-R^R x^2,dx
Cada parcela é fácil:
integral-R^R R^2,dx = R^2l[xr]-R^R = R^2(R - (-R)) = 2R^3,
integral-R^R x^2,dx = l[tfracx^33r]-R^R = R^33 - (-R)^33 = R^33 - l(-R^33r) = 2R^33

Passo 4

Substituindo,
integral-R^R l(R^2-x^2r),dx = 2R^3 - 2R^33 = 6R^3 - 2R^33 = 4R^33
Multiplicando pelo pi que ficou fora da integral, obtemos
V = pi cdot 4R^33 = 4pi R^33

Resposta

V = 4pi R^33

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