Mostre que a solução da equação de Chebyshev
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+alpha^2 y=0
converge para |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a solução da equação de Chebyshev
l(1 - x^2r),y'' - x,y' + alpha^2,y = 0
obtida por série de potências em torno de x=0 converge para lvert xrvert<1.
O conteúdo principal aqui é o método de séries de potências (Frobenius sem parte singular) e, em seguida, usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Assumimos uma solução na forma de série de potências centrada em 0:
y(x) = sumn=0^infty an,x^n
Então
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^,n-1, y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an,x^,n-2
Substituindo em l(1 - x^2r)y'' - x,y' + alpha^2 y = 0:
(1 - x^2)sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 - xsumn=1^infty n,an x^n-1 + alpha^2sumn=0^infty an x^n = 0
Reindexando para obter potências x^k todas com o mesmo expoente k>=0, chegamos ao coeficiente de x^k:
(k+2)(k+1),ak+2 ;-;l[k(k-1)+k-alpha^2r],ak = 0 Longrightarrow (k+2)(k+1),ak+2 = l(k^2-alpha^2r),ak

Passo 3

Da relação de recorrência
ak+2 = k^2-alpha^2(k+2)(k+1),ak,
aplicamos o teste da razão na série
sum an x^n. Para k grande,
l|ak+2x^k+2r| = gl|k^2-alpha^2(k+2)(k+1),ak,x^k+2gr| sim l|ak,x^kr|;gl|k^2k^2,x^2gr| = l|ak,x^kr|,|x|^2
Logo,
limktoinfty|ak+2x^k+2ak x^k| = |x|^2,
e o teste da razão diz que a série converge se |x|^2<1, i.e.\ |x|<1.

Resposta

A solução em série de potências converge para lvert xrvert<1.

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