Mostre que a solução da equação de Chebyshev
converge para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a solução da equação de Chebyshev
obtida por série de potências em torno de converge para .
O conteúdo principal aqui é o método de séries de potências (Frobenius sem parte singular) e, em seguida, usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Assumimos uma solução na forma de série de potências centrada em :
Então
Substituindo em :
Reindexando para obter potências todas com o mesmo expoente , chegamos ao coeficiente de :
Passo 3
Da relação de recorrência
aplicamos o teste da razão na série . Para grande,
Logo,
limktoinfty|ak+2x^k+2ak x^k| = |x|^2,
e o teste da razão diz que a série converge se |x|^2<1, i.e.\ |x|<1.
Resposta
A solução em série de potências converge para lvert xrvert<1.