Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
O conteúdo envolvido é:
- Resolver a equação homogênea associada usando equação característica.
- Encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar (método dos undetermined coefficients).
- Somar ambas para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é
cuja solução dá
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é
, tentamos
onde
e
são constantes a achar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e
:
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem (B = A/2]. Substituindo na segunda:
Portanto
Passo 5
A solução geral é a soma de
yh com
yp :
Resposta
onde
C1 e
C2 são constantes arbitrárias.