Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+4 y^prime=sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 4y' = sin(2x)
O conteúdo envolvido é:
  1. Resolver a equação homogênea associada usando equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar (método dos undetermined coefficients).
  3. Somar ambas para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' + 4y' = 0
A equação característica é
r^2 + 4r = 0
cuja solução dá
r(r + 4) = 0 Longrightarrow r1 = 0,; r2 = -4
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh = C1 e^0cdot x + C2 e^-4x = C1 + C2 e^-4x

Passo 3

Para a parte não homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é sin(2x), tentamos
yp = Acos(2x) + Bsin(2x),
onde A e B são constantes a achar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de
Substituindo em :
Agrupando termos em e :
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem (B = A/2]. Substituindo na segunda:
Portanto

Passo 5

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 + C2 e^-4x - tfrac110cos(2x) - tfrac120sin(2x)

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-4x - tfrac110cos(2x) - tfrac120sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados