Resolva as equações diferenciais:
y^prime+2x y=2 x raizy.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não linear
y' + 2xy = 2xraizy
Para tratar o termo raizy, vamos usar a substituição
v = raizy, y = v^2

Passo 2

Com y = v^2 vem
y' = 2v,v'
Substituindo em
y' + 2xy = 2xraizy
obtemos
2v,v' + 2xv^2 = 2xv
Dividindo por 2 e, para vneq0, dividindo por v, chega-se a
v' + 1xv = x

Passo 3

A equação
v' + 1xv = x
é linear em v. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral1xdxr) = x
Multiplicando por mu(x):
x,v' + v = x^2
que equivale a
ddx(xv) = x^2
Integramos em x:
xv = x^33 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando v e voltando a y:
v = x^23 + Cx,
y = v^2 = l(x^23 + Cxr)^2
Além dessa família geral, existe também a solução singular
y equiv 0

Resposta

A solução geral é
y(x) = l(x^23 + Cxr)^2,
além da solução trivial
y(x) = 0,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados