Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-7 y^prime+12 y=8 sen(x)+exp (3 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 12y = 8sin(x) + e^3x
O que precisamos fazer é: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada; (ii) determinar uma solução particular para cada termo do lado direito usando o método dos coeficientes não–determinados; (iii) somar tudo.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 7y' + 12y = 0
Achar as raízes da característica
r^2 - 7r + 12 = 0
fatorando: (r-3)(r-4)=0, logo r=3 ou r=4. Assim a solução homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^4x

Passo 3

Para o termo 8sin(x) tentamos uma particular da forma
yp1 = Acos(x) + Bsin(x)
Derivando e substituindo em y''-7y'+12y obtemos
(11A - 7B)cos(x) + (7A + 11B)sin(x) = 8sin(x)
Igualando coeficientes:
11A - 7B = 0, 7A + 11B = 8
Da primeira vem A = tfrac711B. Substituindo na segunda:
7l(tfrac711Br) + 11B = 8 ;Longrightarrow; tfrac49+12111B = 8 ;Longrightarrow; B = tfrac4485, ; A = tfrac2885
Então
yp1 = 2885cos(x) + 4485sin(x)

Passo 4

Para o termo e^3x há ressonância porque r=3 já é raiz simples. Portanto tentamos
yp2 = C,x,e^3x
Calculando yp2'' - 7yp2'+12yp2 -C,e^3x. Desejamos que isso seja +e^3x, logo -C = 1 e C=-1. Assim
yp2 = -,x,e^3x

Passo 5

A solução particular total é
yp = yp1 + yp2 = 2885cos(x) + 4485sin(x) ;-; x,e^3x
Somando com yh, a solução geral é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x +2885cos(x) + 4485sin(x) - x,e^3x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^3x + C2 e^4x +2885cos(x) + 4485sin(x) - x,e^3x

Exercícios relacionados