Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que precisamos fazer é: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada; (ii) determinar uma solução particular para cada termo do lado direito usando o método dos coeficientes não–determinados; (iii) somar tudo.
Passo 2
A equação homogênea é
Achar as raízes da característica
fatorando:
, logo
ou
. Assim a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo
tentamos uma particular da forma
Derivando e substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes:
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
Então
Passo 4
Para o termo
há ressonância porque
já é raiz simples. Portanto tentamos
Calculando
dá
. Desejamos que isso seja
, logo
e
. Assim
Passo 5
A solução particular total é
Somando com
, a solução geral é