Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois buscamos uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
A equação homogênea é
Escrevemos a equação característica
e resolvemos para
:
Logo
e
. Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo do lado direito é
e
já é raiz da característica, multiplicamos o palpite usual por
. Assim assumimos
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Queremos que isso seja igual a
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.