Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+4 y^prime+3 y=exp (-3 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = e^-3x
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois buscamos uma solução particular para o termo não homogêneo e^-3x.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y' + 3y = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0
e resolvemos para r:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot32 = -4 pm raiz16-122 = -4 pm 22
Logo r1 = -1 e r2 = -3. Assim a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-x + C2 e^-3x

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo do lado direito é e^-3x e r=-3 já é raiz da característica, multiplicamos o palpite usual por x. Assim assumimos
yp = A,x,e^-3x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Al(1 - 3xr)e^-3x, yp'' = Al(9x - 6r)e^-3x
Substituindo em y'' + 4y' + 3y obtemos
yp'' + 4yp' + 3yp = A e^-3xl[(9x-6) + 4(1-3x) + 3xr] = A e^-3xl(0x - 2r) = -2A,e^-3x
Queremos que isso seja igual a e^-3x, logo
-2A,e^-3x = e^-3x Longrightarrow -2A = 1 Longrightarrow A = -tfrac12
Portanto
yp = -tfrac12,x,e^-3x

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = C1 e^-x + C2 e^-3x ;-; tfrac12,x,e^-3x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-x + C2 e^-3x - tfrac12,x,e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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