Resolva as equações diferenciais:
y^prime-14 x y=x4 y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não linear
y' - 14x,y = x4,y
O conteúdo usado será a transformação em uma equação linear para a nova variável u = y^2, aproveitando que
ddx(y^2) = 2,y,y'

Passo 2

Multiplicamos a equação original por 4y para expor o termo y,y':
4y,y' - 4y4x,y = 4ycdotx4y Longrightarrow 4y,y' - y^2x = x
Como 4y,y' = 2ddx(y^2), obtemos
2ddx(y^2) - y^2x = x

Passo 3

Definindo u = y^2, a equação fica
2,u' - 1x,u = x,
isto é, dividindo por 2,
u' - 12x,u = x2,
uma equação linear em u(x).

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = expl(-integral 12x,dxr) = expl(-tfrac12ln xr) = x^-tfrac12
Multiplicando a equação em u por mu(x)
(x^-tfrac12u)' = x^-tfrac12,x2 = x^tfrac122
Integrando ambos os lados:
x^-tfrac12u = integral x^tfrac122,dx + C = 12cdot23,x^tfrac32 + C = x^tfrac323 + C
Multiplicando por x^tfrac12 obtemos
u(x) = y^2 = x^23 + C,x^tfrac12

Passo 5

Voltando a y, temos a solução geral
y(x) = pm raizx^23 + C,x^tfrac12,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = pm raizx^23 + C,x^tfrac12

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