Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O método consiste em dois passos: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) obter uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Consideramos primeiro a equação homogênea
Escrevemos a equação característica
e resolvemos
obtendo
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular
, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo fonte é
e
é raiz da característica (resonância de ordem 1), tomamos o ansatz
onde
é constante a encontrar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo na equação original obtemos
Como isso deve ser igual a
, temos
Passo 6
Substituindo
de volta no ansatz, a solução particular é
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.