Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+5 y^prime+4 y=exp (-4 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 4y = e^-4x
O método consiste em dois passos: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) obter uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Consideramos primeiro a equação homogênea
y'' + 5y' + 4y = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 + 5r + 4 = 0
e resolvemos
r = -5 pm raiz25 - 162 = -5 pm 32,
obtendo r1 = -1 e r2 = -4. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-4x

Passo 3

Para a parte particular yp, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo fonte é e^-4x e -4 é raiz da característica (resonância de ordem 1), tomamos o ansatz
yp(x) = A,x,e^-4x,
onde A é constante a encontrar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = A,(1 - 4x),e^-4x,
yp''(x) = A,(16x - 8),e^-4x

Passo 5

Substituindo na equação original obtemos
yp'' + 5yp' + 4yp = Al[(16x - 8) + 5(1 - 4x) + 4xr]e^-4x = A(-3),e^-4x = -3A,e^-4x
Como isso deve ser igual a e^-4x, temos
-3A = 1 Longrightarrow A = -tfrac13

Passo 6

Substituindo A de volta no ansatz, a solução particular é
yp(x) = -tfrac13,x,e^-4x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = C1 e^-x + C2 e^-4x - x3,e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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