Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
cos theta d r-(r sin theta-e^theta) d theta=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
costheta,dr-l(rsintheta - e^thetar)dtheta=0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar uma função potencial psi(r,theta) tal que
partial psipartial r=costheta e partial psipartial theta=-l(rsintheta - e^thetar)
O conteúdo é equações diferenciais exatas e a técnica envolve checar igualdade de derivadas parciais e, em seguida, construir psi.

Passo 2

Identificamos
M(r,theta)=costheta, N(r,theta)=-l(rsintheta - e^thetar)=-rsintheta+e^theta
Calculamos
partial Mpartial theta =partialpartial theta(costheta) =-sintheta, partial Npartial r =partialpartial r(-rsintheta+e^theta) =-sintheta
Como partial M/partialtheta=partial N/partial r, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos psi(r,theta) satisfazendo partialpsi/partial r=M. Integramos em r, tratando theta como constante:
psi(r,theta)=integral costheta,dr =rcostheta + h(theta),
onde h(theta) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(theta), usamos partialpsi/partial theta=N. Calculamos
partialpsipartialtheta =partialpartialthetal(rcostheta + h(theta)r) =-rsintheta + h'(theta)
e igualamos a N=-rsintheta+e^theta. Daí
-,rsintheta + h'(theta) =-,rsintheta + e^theta Longrightarrow h'(theta)=e^theta
Integrando em theta vem
h(theta)=integral e^theta,dtheta=e^theta + C1
O C1 podemos absorver na constante final.

Passo 5

Substituindo h(theta)=e^theta em psi, obtemos a função potencial
psi(r,theta)=rcostheta + e^theta
A solução implícita da equação diferencial é
rcostheta + e^theta = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
rcostheta + e^theta = C

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