Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar uma função potencial
tal que
O conteúdo é equações diferenciais exatas e a técnica envolve checar igualdade de derivadas parciais e, em seguida, construir
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
satisfazendo
. Integramos em
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
. Calculamos
e igualamos a
. Daí
Integrando em
vem
O
podemos absorver na constante final.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A solução implícita da equação diferencial é
com
constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e a solução geral é