Determine a solução geral das equações diferenciais:
4 y^prime prime(x)+y(x)=exp (-2 x) sen(x2)+6 x cos (x2).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''(x)+y(x)=exp(-2x)sin!l(tfrac x2r)+6xcos!l(tfrac x2r)
O método é: (i) achar a solução geral yh da homogênea 4y''+y=0, (ii) obter duas soluções particulares yp1 e yp2 para cada termo do lado direito por coeficientes indeterminados, e (iii) somar tudo.

Passo 2

Resolvendo a homogênea 4y''+y=0, a equação característica é
4r^2+1=0Longrightarrow r=pmtfraci2
Logo
yh(x)=C1cos!l(tfrac x2r)+C2sin!l(tfrac x2r)

Passo 3

Para a parte
Substituindo em e igualando a obtém-se o sistema
cuja solução é . Assim

Passo 4

Para a parte 6xcos(tfrac x2), como cos(tfrac x2) é solução da homogênea há ressonância de ordem 1. Então tomamos
yp2(x)=(a x^2+ b x)costfrac x2+(c x^2+ d x)sintfrac x2
Dividindo a EDO por 4 e igualando y''+tfrac14y=(3x/2)cos(tfrac x2), ao substituir e agrupar termos chega-se ao sistema linear para a,b,c,d, cuja solução é
a=0, b=tfrac32, c=tfrac34, d=0
Portanto
yp2(x)=tfrac3x2costfrac x2+tfrac3x^24sintfrac x2

Passo 5

A solução geral é a soma
y(x)=yh(x)+yp1(x)+yp2(x),
isto é
y(x) =C1costfrac x2+C2sintfrac x2 +e^-2xl(tfrac120sintfrac x2+tfrac140costfrac x2r) +tfrac3x2costfrac x2+tfrac3x^24sintfrac x2

Resposta

y(x) =C1costfrac x2+C2sintfrac x2 +e^-2xl(tfrac120sintfrac x2+tfrac140costfrac x2r) +tfrac3x2costfrac x2+tfrac3x^24sintfrac x2

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