Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+y=sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + y = sen(2x)
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da parte homogênea ( yh) e somar a ela uma solução particular ( yp) usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' + y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 + 1 = 0
cuja solução é
r = pm i
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1cos x + C2sin x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea, como o termo de força é sen(2x), propomos uma solução particular do tipo
yp(x)=Asen(2x)+Bcos(2x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x)=2Acos(2x)-2Bsen(2x),
yp''(x)=-4Asen(2x)-4Bcos(2x)
Substituindo em y''+y=sen(2x),
l(-4Asen(2x)-4Bcos(2x)r)+(Asen(2x)+Bcos(2x)) =sen(2x)
Agrupando termos em sen(2x) e em cos(2x), obtemos
(-4A + A)sen(2x) + (-4B + B)cos(2x) = -3A,sen(2x) -3B,cos(2x) = sen(2x)
Igualando coeficientes:
-3A = 1 Rightarrow A=-tfrac13,
-3B = 0 Rightarrow B=0
Assim,
yp(x)=-tfrac13sen(2x)

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma de yh com yp:
y(x)=C1cos x + C2sin x - tfrac13sen(2x)

Resposta

y(x)=C1cos x + C2sin x - 13sen(2x)

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