Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da parte homogênea (
) e somar a ela uma solução particular (
) usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea associada
escrevemos a equação característica
cuja solução é
Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não homogênea, como o termo de força é
, propomos uma solução particular do tipo
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
,
Agrupando termos em
e em
, obtemos
Igualando coeficientes:
Assim,
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma de
com
: