Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+y^prime-6 y=36 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6,y = 36,x
O conteúdo é EDO linear homogênea associada mais uma solução particular.

Passo 2

Resolvemos primeiro a homogênea
y'' + y' - 6,y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm raiz1 + 242 = 2,,-3
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para a particular, como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, tentamos
yp(x) = A,x + B
Então
yp'(x) = A, yp''(x) = 0
Substituindo em y''+y'-6y=36x:
0 + A - 6(Ax + B) = 36x ;Longrightarrow; -6A,x + (A - 6B) = 36x
Igualando coeficientes de x e termo constante:
-6A = 36 ;Rightarrow; A = -6,
A - 6B = 0 ;Rightarrow; -6 - 6B = 0 ;Rightarrow; B = -1
Portanto
yp(x) = -6,x - 1

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x - 6x - 1

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x - 6x - 1

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