Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-5 y^prime+4 y=exp (4 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 5y' + 4y = e^4x
O conteúdo envolve encontrar a solução geral y(x) somando a solução homogênea yh e uma solução particular yp, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada
r^2 - 5r + 4 = 0
As raízes são
r = 1 e r = 4
Logo
yh(x) = C1 e^x + C2 e^4x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^4x e e^4x já aparece em yh, fazemos o ansatz aumentado por um fator x:
yp(x) = A x e^4x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Al(4x+1r)e^4x, yp'' = Al(16x+8r)e^4x

Passo 5

Substituímos em y'' -5y' +4y:
yp'' -5yp' +4yp = A e^4xl(16x+8 -5(4x+1) +4xr) = A e^4xl(16x+8 -20x -5 +4xr) = 3A e^4x
Queremos que isso seja e^4x, então 3A e^4x=e^4x implica A=tfrac13.

Passo 6

Assim, a solução particular é
yp(x) = 13,x e^4x,
e a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^4x + x e^4x3

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^4x + x e^4x3

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