Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O objetivo é encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
cuja raiz é
. Logo, a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Como o termo forçante
é um polinômio de grau
, usamos o método dos coeficientes a determinar e propomos
Então
Substituindo em
, temos
Passo 4
Agora igualamos coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de :
- Coeficiente de
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 5
A solução particular é
Portanto, a solução geral da equação é
Resposta
com
e
constantes arbitrárias.