Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+9 y=2 x^2-5.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9,y = 2x^2 - 5
O objetivo é encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 9,y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0
cuja raiz é r = pm 3,i. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = Acos(3x) + Bsin(3x),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo forçante 2x^2 - 5 é um polinômio de grau 2, usamos o método dos coeficientes a determinar e propomos
yp(x) = a,x^2 + b,x + c
Então
yp'(x) = 2a,x + b,
yp''(x) = 2a
Substituindo em y'' + 9y, temos
2a + 9l(a,x^2 + b,x + cr) = 2x^2 - 5

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de cada potência de x:
- Coeficiente de x^2:
9a = 2 Longrightarrow a = tfrac29
- Coeficiente de x:
9b = 0 Longrightarrow b = 0
- Termo constante:
2a + 9c = -5 Longrightarrow 2cdot29 + 9c = -5 Longrightarrow 9c = -5 - 49 = -499 Longrightarrow c = -4981

Passo 5

A solução particular é
yp(x) = 29,x^2 - 4981
Portanto, a solução geral da equação é
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acos(3x) + Bsin(3x) + 29,x^2 - 4981

Resposta

y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x) + 29,x^2 - 4981,
com A e B constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados