Determine a solução geral das equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que vamos usar: (i) solução complementar à equação homogênea
via equação característica; (ii) método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para o termo constante
e para
.
Passo 2
Para a parte homogênea
montamos a equação característica
cuja solução é
. Logo, a solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo constante
. Como
é constante, tomamos
onde
é constante. Substituindo em
temos
Então
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para
. Fazemos o palpite
Então
Substituindo em
dá
Comparando coeficientes obtemos
Logo
Passo 5
A solução geral é soma da complementar com as particulares:
Resposta
onde
e
são constantes de integração.