Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime+16 y=1+cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 16y = 1 + cos(2x)
O que vamos usar: (i) solução complementar à equação homogênea y''+16y=0 via equação característica; (ii) método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para o termo constante 1 e para cos(2x).

Passo 2

Para a parte homogênea y''+16y=0 montamos a equação característica
r^2 + 16 = 0
cuja solução é r = pm 4i. Logo, a solução complementar é
yc = C1 cos(4x) + C2 sin(4x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp1 para o termo constante 1. Como 1 é constante, tomamos
yp1 = A,
onde A é constante. Substituindo em y''+16y=1 temos
0 + 16A = 1 Longrightarrow A = 116
Então
yp1 = 116

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp2 para cos(2x). Fazemos o palpite
yp2 = Dcos(2x) + Esin(2x)
Então
yp2'' = -4Dcos(2x) - 4Esin(2x)
Substituindo em y''+16y=cos(2x)
(-4Dcos(2x)-4Esin(2x))+16(Dcos(2x)+Esin(2x)) =12Dcos(2x) + 12Esin(2x) =cos(2x)
Comparando coeficientes obtemos
12D = 1, 12E = 0 Longrightarrow D = 112,;E=0
Logo
yp2 = 112cos(2x)

Passo 5

A solução geral é soma da complementar com as particulares:
y(x) = yc + yp1 + yp2 = C1 cos(4x) + C2 sin(4x) + 116 + 112cos(2x)

Resposta

y(x) = C1 cos(4x) + C2 sin(4x) + 116 + 112cos(2x),
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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