Encontre uma segunda solução independente.
(x^2-x) y^prime prime+(3 x-1) y^prime+y=0(x neq 0 ; x neq 1) ; y1(x)=(x-1)^-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes não constantes
(x^2-x),y''+(3x-1),y'+y=0, xneq0,;xneq1,
e informa uma solução conhecida
y1(x)=(x-1)^-1
O objetivo é encontrar uma segunda solução independente usando o método de redução de ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
dividindo por x(x-1):
y''+3x-1x(x-1),y'+1x(x-1),y=0

Passo 3

Identificamos
P(x)=3x-1x(x-1), Q(x)=1x(x-1)

Passo 4

Para usar redução de ordem, calculamos
integral P(x),dx
fazendo frações parciais:
3x-1x(x-1)=1x+2x-1 Longrightarrow integral P(x),dx=ln|x|+2ln|x-1|=lnl|x(x-1)^2r|

Passo 5

Calculamos o fator
expl(-!!integral P(x),dxr) =expl(-ln[x(x-1)^2]r) =1x,(x-1)^2

Passo 6

A fórmula de redução de ordem diz
y2(x) =y1(x)integralexp(-integral P)y1(x)^2,dx
Substituindo y1=(x-1)^-1 e o fator acima:

Passo 7

y2(x) =(x-1)^-1integral 1x,(x-1)^2l[(x-1)^2r],dx =(x-1)^-1integral1x,dx =(x-1)^-1lnl|xr|

Resposta

A segunda solução independente é
y2(x)=lnlvert xrvertx-1

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