Procurar um fator integrante e resolver as equações
\left(1+y^{2}\right) d x=\left(x+x^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para procurar um fator integrante e resolver a equação diferencial
(1+y^{2})\,dx = (x+x^{2})\,dy.
Informações dadas:
(1)\\ \text{A equação está escrita como }(1+y^{2})\,dx-(x+x^{2})\,dy=0.çãá
(2)\\ \text{Pede-se: encontrar um fator integrante (se houver) e resolver a equação, i.e., encontrar a família de soluções gerais.}çãíçõ

Passo 2

Primeiro vou testar se a equação é exata. Escrevo M(x,y)=1+y^{2} e N(x,y)=-(x+x^{2}) de modo que a equação seja M\,dx+N\,dy=0. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-(1+2x).
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} (pois 2y não é igual a -(1+2x) em geral), a equação não é exata na forma dada.

Passo 3

Agora procuro um fator integrante dependente só de x ou só de y. A condição prática é:
- Se existir \mu(x) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, então
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}
deve ser função só de x. Calculo:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=2y+(1+2x)=1+2x+2y,
\frac{1+2x+2y}{N}=\frac{1+2x+2y}{-(x+x^{2})},
que depende de y, logo não é só função de x. Para \mu(y) a condição é
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-(1+2x)-2y}{1+y^{2}},
que depende de x. Portanto não existe fator integrante que dependa apenas de x nem apenas de y.

Passo 4

Antes de tentar fatores integrais mais complicados, observo que a equação é facilmente manipulável para checar separabilidade. Reescrevo como razão diferencial:
\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^{2}}{x+x^{2}}=\frac{1+y^{2}}{x(1+x)}.
Esta forma mostra que a equação é separável: todos os termos em y podem ficar de um lado e os termos em x do outro. Quando uma equação é separável, não precisamos de fator integrante — separamos e integramos.

Passo 5

Separo as variáveis colocando termos em y à esquerda e em x à direita:
\frac{dy}{1+y^{2}}=\frac{dx}{x(1+x)}.
Agora vou integrar ambos os lados. À esquerda usamos a primitiva conhecida de 1/(1+y^{2}); à direita faremos decomposição em frações parciais.

Passo 6

Integração do lado esquerdo:
\int \frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)+C_{1},
porque sabemos que \dfrac{d}{dy}\big(\arctan(y)\big)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. (Esta é uma primitiva padrão: a função arco-tangente.)

Passo 7

Integração do lado direito usando frações parciais. Decomponho
\frac{1}{x(1+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1+x}.
Multiplicando por x(1+x) obtemos
1 = A(1+x)+Bx = A + (A+B)x.
Comparando coeficientes: A=1 e A+B=0\Rightarrow B=-1. Logo
\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}.
Integro:
\int \frac{dx}{x(1+x)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}\right)\,dx=\ln|x|-\ln|1+x|+C_{2}.
(Recorde: \int 1/x\,dx=\ln|x|+C.)

Passo 8

Agora junto as duas integrais obtidas. Podemos somar as constantes em uma só constante C. Assim:
\arctan(y)=\ln|x|-\ln|1+x|+C.
Posso simplificar o logaritmo:
\arctan(y)=\ln\left|\frac{x}{1+x}\right|+C.
Isto é a solução implícita geral. Se quiser a forma explícita para y, aplico a tangente em ambos os lados.

Passo 9

Aplicando a tangente, obtenho a solução explícita:
y=\tan\!\Big(\ln\!\left|\tfrac{x}{1+x}\right|+C\Big),
onde C é a constante arbitrária de integração. Esta família descreve todas as soluções locais em que as expressões são definidas (por exemplo, x\neq0 e x\neq-1 para que os logaritmos façam sentido no passo intermediário; a expressão implícita também contempla casos-limite via continuidade).

Resposta

\arctan(y)=\ln\left|\dfrac{x}{1+x}\right|+C

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