Procurar um fator integrante e resolver as equações \left(1+y^{2}\right) d x=\left(x+x^{2}\right) d y
Passo 1
O enunciado pede para procurar um fator integrante e resolver a equação diferencial
(1+y^{2})\,dx = (x+x^{2})\,dy.
Informações dadas:
(1)\\ \text{A equação está escrita como }(1+y^{2})\,dx-(x+x^{2})\,dy=0.
(2)\\ \text{Pede-se: encontrar um fator integrante (se houver) e resolver a equação, i.e., encontrar a família de soluções gerais.}
Passo 2
Primeiro vou testar se a equação é exata. Escrevo M(x,y)=1+y^{2} e N(x,y)=-(x+x^{2}) de modo que a equação seja M\,dx+N\,dy=0. Calculo as derivadas parciais:
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} (pois 2y não é igual a -(1+2x) em geral), a equação não é exata na forma dada.
Passo 3
Agora procuro um fator integrante dependente só de x ou só de y. A condição prática é:
- Se existir \mu(x) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, então
que depende de x. Portanto não existe fator integrante que dependa apenas de x nem apenas de y.
Passo 4
Antes de tentar fatores integrais mais complicados, observo que a equação é facilmente manipulável para checar separabilidade. Reescrevo como razão diferencial:
Esta forma mostra que a equação é separável: todos os termos em y podem ficar de um lado e os termos em x do outro. Quando uma equação é separável, não precisamos de fator integrante — separamos e integramos.
Passo 5
Separo as variáveis colocando termos em y à esquerda e em x à direita:
\frac{dy}{1+y^{2}}=\frac{dx}{x(1+x)}.
Agora vou integrar ambos os lados. À esquerda usamos a primitiva conhecida de 1/(1+y^{2}); à direita faremos decomposição em frações parciais.
Passo 6
Integração do lado esquerdo:
\int \frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)+C_{1},
porque sabemos que \dfrac{d}{dy}\big(\arctan(y)\big)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. (Esta é uma primitiva padrão: a função arco-tangente.)
Passo 7
Integração do lado direito usando frações parciais. Decomponho
\frac{1}{x(1+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1+x}.
Multiplicando por x(1+x) obtemos
1 = A(1+x)+Bx = A + (A+B)x.
Comparando coeficientes: A=1 e A+B=0\Rightarrow B=-1. Logo
onde C é a constante arbitrária de integração. Esta família descreve todas as soluções locais em que as expressões são definidas (por exemplo, x\neq0 e x\neq-1 para que os logaritmos façam sentido no passo intermediário; a expressão implícita também contempla casos-limite via continuidade).