Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
4 y^prime prime+2 y^prime-y=e^x sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é não homogênea, ou seja, tem um termo do lado direito que não é igual a zero. A equação é:
4 y'' + 2 y' - y = e^x sin(x)
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Esse método é útil quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que têm soluções particulares conhecidas, como exponenciais, senos, cossenos, polinômios, etc. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
4 y'' + 2 y' - y = 0
Para resolver isso, a gente vai supor que a solução tem a forma y = e^r x, onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
4 (r^2 e^r x) + 2 (r e^r x) - e^r x = 0
Podemos dividir tudo por e^r x (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
4 r^2 + 2 r - 1 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4, b = 2 e c = -1:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 4 cdot (-1)2 cdot 4 = -2 pm raiz4 + 168 = -2 pm raiz208
Simplificando raiz20 = 2raiz5:
r = -2 pm 2raiz58 = -1 pm raiz54
Então, as raízes são reais e distintas:
r1 = -1 + raiz54, r2 = -1 - raiz54
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^( -1 + raiz54 ) x + C2 e^( -1 - raiz54 ) x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
4 y'' + 2 y' - y = e^x sin(x)
Como o lado direito é do tipo e^x sin(x), vamos assumir que a solução particular tem a forma:
yp(x) = e^x (A sin(x) + B cos(x))
Aqui, A e B são coeficientes que precisamos determinar. Esse tipo de suposição funciona porque e^x sin(x) e e^x cos(x) são combinações lineares que, quando derivadas, continuam na mesma forma, facilitando a substituição na equação original.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp:
Primeira derivada:
yp' = e^x (A sin(x) + B cos(x)) + e^x (A cos(x) - B sin(x)) = e^x [ (A + B) cos(x) + (A - B) sin(x) ]
Segunda derivada:
yp'' = e^x [ (A + B) cos(x) + (A - B) sin(x) ] + e^x [ - (A + B) sin(x) + (A - B) cos(x) ]
Simplificando:
yp'' = e^x [ (2A) cos(x) + (2B) sin(x) ]
Agora, substituímos yp, yp' e yp'' na equação original:
4 yp'' + 2 yp' - yp = e^x sin(x)
Substituindo:
4 cdot e^x (2A cos(x) + 2B sin(x)) + 2 cdot e^x [ (A + B) cos(x) + (A - B) sin(x) ] - e^x (A sin(x) + B cos(x)) = e^x sin(x)
Fatorando e^x e agrupando os termos:
e^x [ (8A + 2A + 2B - B) cos(x) + (8B + 2A - 2B - A) sin(x) ] = e^x sin(x)
Simplificando os coeficientes:
Para cos(x):
8A + 2A + 2B - B = 10A + B
Para sin(x):
8B + 2A - 2B - A = (8B - 2B) + (2A - A) = 6B + A
Então, temos:
e^x [ (10A + B) cos(x) + (6B + A) sin(x) ] = e^x sin(x)
Como as funções e^x cos(x) e e^x sin(x) são linearmente independentes, podemos igualar os coeficientes:
10A + B = 0 6B + A = 1
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
B = -10A
Substituindo na segunda equação:
6(-10A) + A = 1 -60A + A = 1 -59A = 1 A = -159
Então,
B = -10 ( -159 ) = 1059

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
boxed y(x) = C1 e^( -1 + raiz54 ) x + C2 e^( -1 - raiz54 ) x + e^x ( -159 sin(x) + 1059 cos(x) )
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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