Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é não homogênea, ou seja, tem um termo do lado direito que não é igual a zero. A equação é:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Esse método é útil quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que têm soluções particulares conhecidas, como exponenciais, senos, cossenos, polinômios, etc. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para resolver isso, a gente vai supor que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Podemos dividir tudo por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Simplificando :
Então, as raízes são reais e distintas:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação não homogênea:
Como o lado direito é do tipo , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar. Esse tipo de suposição funciona porque e são combinações lineares que, quando derivadas, continuam na mesma forma, facilitando a substituição na equação original.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Agora, substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Fatorando e agrupando os termos:
Simplificando os coeficientes:
Para :
Para :
Então, temos:
Como as funções e são linearmente independentes, podemos igualar os coeficientes:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
B = -10A
Substituindo na segunda equação:
6(-10A) + A = 1 -60A + A = 1 -59A = 1 A = -159
Então,
B = -10 ( -159 ) = 1059
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada: