Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x sen(x)+e^2 x cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+5y = e^xsin x + e^2xcos(3x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução complementar (homogênea) e depois uma particular para cada termo não-homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação
y''-2y'+5y=0
A equação característica é
r^2 - 2r + 5 = 0
cuja soma e produto das raízes são 2 e 5. Usando a fórmula de Bhaskara,
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot52 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2i
Portanto a solução complementar é
yc = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 3

Para a porção particular relativa a e^xsin x, propomos
yp1 = e^xl(Acos x + Bsin xr),
pois não há ressonância (as raízes 1pm i não aparecem na homogênea). Calculamos então yp1' e yp1'':
yp1' = e^xl((A+B)cos x + (B - A)sin xr),
yp1'' = e^xl(2Bcos x -2Asin xr)

Passo 4

Substituindo em y''-2y'+5y e igualando a e^xsin x, obtemos
L[yp1] = e^xl(3Acos x + 3Bsin xr) stackrel!= e^xl(0cdotcos x + 1cdotsin xr)
Isto dá o sistema
3A = 0, 3B = 1 Longrightarrow A=0,; B=tfrac13
Logo
yp1 = tfrac13e^xsin x

Passo 5

Para a porção particular relativa a e^2xcos(3x), propomos
yp2 = e^2xl(Ccos(3x) + Dsin(3x)r),
já que 2pm3i não são raízes da caracterísica. Calculamos yp2' e yp2'':
yp2' = e^2xl((2C+3D)cos3x + (2D-3C)sin3xr),
yp2'' = e^2xl((-7C+9D)cos3x +(-9C-7D)sin3xr)

Passo 6

Substituindo em y''-2y'+5y e igualando a e^2xcos3x, vem
L[yp2] = e^2xl((-6C+3D)cos3x +(-3C-6D)sin3xr) stackrel!= e^2xl(1cdotcos3x + 0cdotsin3xr)
Isso gera o sistema
-6C + 3D = 1, -3C - 6D = 0 Longrightarrow D = tfrac115,; C = -tfrac215
Portanto
yp2 = e^2xl(-tfrac215cos3x + tfrac115sin3xr)

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da parte complementar com as particulares:
y = yc + yp1 + yp2

Resposta

boxed y = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) ;+;tfrac13e^xsin x ;+;e^2xl(-tfrac215cos3x + tfrac115sin3xr)

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