Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução complementar (homogênea) e depois uma particular para cada termo não-homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos a equação
A equação característica é
cuja soma e produto das raízes são
e
. Usando a fórmula de Bhaskara,
Portanto a solução complementar é
Passo 3
Para a porção particular relativa a
, propomos
pois não há ressonância (as raízes
não aparecem na homogênea). Calculamos então
e
:
Passo 4
Substituindo em
e igualando a
, obtemos
Isto dá o sistema
Logo
Passo 5
Para a porção particular relativa a
, propomos
já que
não são raízes da caracterísica. Calculamos
e
:
Passo 6
Substituindo em
e igualando a
, vem
Isso gera o sistema
Portanto
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da parte complementar com as particulares: