Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=3 x^{2}+4 x-1$
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=3 x^{2}+4 x-1$
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem não– homogênea
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e parte não– homogênea polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois um particular adequado.
Passo 2
Resolvemos a homogênea associada
A equação característica é
cujo conjunto de raízes é
e
. Logo
Passo 3
Para a parte não– homogênea de termo polinomial de grau
,
, propomos um polinômio de grau
, mas multiplicado por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na homogênea (aqui
). Assim escolhemos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Esse resultado deve ser igual a
. Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Daí
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com o particular: