Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=3 x^{2}+4 x-1$

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem não– homogênea
y'' - 3y' = 3x^2 + 4x - 1
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e parte não– homogênea polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois um particular adequado.

Passo 2

Resolvemos a homogênea associada
y'' - 3y' = 0
A equação característica é
r^2 - 3r = r(r-3)=0,
cujo conjunto de raízes é r=0 e r=3. Logo
yh = C1 e^0x + C2 e^3x = C1 + C2 e^3x

Passo 3

Para a parte não– homogênea de termo polinomial de grau 2, 3x^2+4x-1, propomos um polinômio de grau 2, mas multiplicado por x^m, onde m é a multiplicidade da raiz r=0 na homogênea (aqui m=1). Assim escolhemos
yp = x,(ax^2 + bx + c) = a x^3 + b x^2 + c x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 3a x^2 + 2b x + c,
yp'' = 6a x + 2b
Substituindo em y''-3y':
yp'' - 3yp' = (6a x +2b) -3(3a x^2 +2b x +c) = -9a x^2 + (6a -6b)x + (2b -3c)
Esse resultado deve ser igual a 3x^2+4x-1. Igualando coeficientes, obtemos o sistema
-9a = 3, 6a -6b = 4, 2b -3c = -1
Daí
a = -tfrac13, 6(-tfrac13) -6b =4implies -2 -6b=4implies b=-1, 2(-1)-3c=-1implies c=-tfrac13
Logo
yp = -tfrac13x^3 - x^2 - tfrac13x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com o particular:
y(x) = yh + yp = C1 + C2 e^3x - tfrac13x^3 - x^2 - tfrac13x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^3x - 13x^3 - x^2 - 13x

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