Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
em que o lado esquerdo é um operador linear com coeficientes constantes. O método dos coeficientes indeterminados consiste em duas etapas principais: (i) resolver a equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para a parte não homogênea, depois somar as duas.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
escrevemos a equação característica
cuja solução é
Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não homogênea, o termo
é um polinômio de grau 3, então suponho uma solução particular do tipo
com
a determinar.
Passo 4
Calculo as derivadas de
:
Substituo em
:
Passo 5
Comparo com o termo não homogêneo
, igualando coeficientes de cada potência de
:
Dessa forma
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação original é a soma da parte homogênea com a particular: