Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime+9 y=x^3-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + 9y = x^3 - 1
em que o lado esquerdo é um operador linear com coeficientes constantes. O método dos coeficientes indeterminados consiste em duas etapas principais: (i) resolver a equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para a parte não homogênea, depois somar as duas.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 9y = 0,
escrevemos a equação característica
r^2 + 9 = 0,
cuja solução é
r = pm 3,i
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo x^3 - 1 é um polinômio de grau 3, então suponho uma solução particular do tipo
yp(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,
com A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculo as derivadas de yp:
yp'(x) = 3Ax^2 + 2Bx + C, yp''(x) = 6Ax + 2B
Substituo em y'' + 9y = x^3 - 1:
yp'' + 9yp = (6Ax + 2B) + 9,(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = 9A,x^3 + 9B,x^2 + (6A + 9C),x + (2B + 9D)

Passo 5

Comparo com o termo não homogêneo x^3 -1, igualando coeficientes de cada potência de x:
9A = 1, 9B = 0, 6A + 9C = 0, 2B + 9D = -1
Dessa forma
A = 19, B = 0, 6cdot19 + 9C = 0 implies C = -227, 9D = -1 implies D = -19
Portanto
yp(x) = 19,x^3 - 227,x - 19

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + 19,x^3 - 227,x - 19

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + 19,x^3 - 227,x - 19

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