Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-5 y^prime+2 y=e^5 x+2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 5y' + 2y = e^5x + 2x
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Vamos ( 1) resolver a parte homogênea, obtendo yh, e ( 2) propor um palpite para a parte particular yp adaptado aos termos não-homogêneos e^5x e 2x.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' - 5y' + 2y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 5r + 2 = 0
As raízes são
r = 5 pm raiz25 - 82 = 5 pm raiz172
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^5+raiz172x + C2 e^5-raiz172x

Passo 3

Para a parte particular yp, o termo não-homogêneo é e^5x + 2x.
Como e^5x não gera raiz dupla na característica, tentamos
yp1 = A e^5x
Como 2x é polinomial de grau 1 e r=0 não é raiz da característica, tentamos
yp2 = Bx + C
Assim
yp = A e^5x + Bx + C

Passo 4

Calculamos derivadas de yp:
yp' = 5A e^5x + B, yp'' = 25A e^5x
Substituindo em y'' - 5y' + 2y:
yp'' - 5yp' + 2yp &= 25A e^5x -5l(5A e^5x+Br) +2l(A e^5x+Bx+Cr) &= (25A -25A +2A)e^5x +2B x +l(2C -5Br) &= 2A,e^5x +2B x + (2C -5B)
Queremos isso igual a e^5x+2x. Logo igualamos coeficientes:
2A = 1, 2B = 2, 2C -5B = 0
Daí
A = tfrac12, B = 1, C = tfrac52
Então
yp = tfrac12 e^5x + x + tfrac52

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp = C1 e^5+raiz172x + C2 e^5-raiz172x + tfrac12 e^5x + x + tfrac52

Resposta

y(x) = C1 e^5+raiz172x + C2 e^5-raiz172x + 12 e^5x + x + 52

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