Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-20 y^prime=cos (x) e^3 x+5 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y'' - 20,y' = e^3xcos x + 5x
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da homogênea e depois um particular usando coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
r^2 - 20r = 0
tem raízes r=0 e r=20. Logo a solução da homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^20x

Passo 3

Para a parte e^3xcos x propomos
yp1(x) = e^3xl(Acos x + Bsin xr)
Calculando y'p1 e y''p1 e substituindo em y''-20y'=e^3xcos x obtemos o sistema
-52A -14B = 1, 14A -52B = 0
Resolvendo,
A = -13725, B = -71450,
portanto
yp1(x) = e^3xl(-tfrac13725cos x ;-;tfrac71450sin xr)

Passo 4

Para a parte polinomial 5x, como r=0 é raiz simples da homogênea, multiplicamos por x o chute polinomial de grau 1:
yp2(x) = p,x^2 + q,x
Derivando e substituindo em y''-20y'=5x vem
-40p = 5, 2p - 20q = 0,
de onde
p = -tfrac18, q = -tfrac180,
e
yp2(x) = -tfrac18,x^2 - tfrac180,x

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^20x - 13725e^3xcos x - 71450e^3xsin x - 18x^2 - 180x

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