Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da homogênea e depois um particular usando coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea
tem raízes e . Logo a solução da homogênea é
Passo 3
Para a parte propomos
Calculando e e substituindo em obtemos o sistema
Resolvendo,
A = -13725, B = -71450,
portanto
yp1(x) = e^3xl(-tfrac13725cos x ;-;tfrac71450sin xr)
Passo 4
Para a parte polinomial 5x, como r=0 é raiz simples da homogênea, multiplicamos por x o chute polinomial de grau 1:
yp2(x) = p,x^2 + q,x
Derivando e substituindo em y''-20y'=5x vem
-40p = 5, 2p - 20q = 0,
de onde
p = -tfrac18, q = -tfrac180,
e
yp2(x) = -tfrac18,x^2 - tfrac180,x
Resposta
A solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^20x - 13725e^3xcos x - 71450e^3xsin x - 18x^2 - 180x