Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime+2 y^prime-6 y=e^x-x+16

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 6y = e^x - x + 16
usando o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a parte particular. Vamos, então, obter primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular compatível com o termo não-homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 2y' - 6y = 0
e montamos a equação característica
r^2 + 2r - 6 = 0
As raízes são
r = -2 pm raiz4 + 242 = -1 pm raiz7
Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^(-1+raiz7)x + C2 e^(-1-raiz7)x

Passo 3

O termo não-homogêneo é e^x - x + 16. Como ,r=1 não é raiz da característica, para e^x usamos
yp1(x) = A e^x
Para o polinômio de grau 1 (-x+16) usamos
yp2(x) = Bx + C
Assim, propomos
yp(x) = A e^x + Bx + C

Passo 4

Derivando:
yp' = A e^x + B, yp'' = A e^x
Substituindo em y'' + 2y' - 6y:
A e^x + 2(A e^x + B) -6(A e^x + Bx + C) = (-3A)e^x ;+;(-6B)x;+;(2B -6C)
Igualando a e^x - x + 16, obtém-se o sistema
-3A = 1, -6B = -1, 2B -6C = 16
Desse modo
A = -tfrac13, B = tfrac16, 2!cdottfrac16 -6C = 16;Longrightarrow; C = -tfrac4718
Portanto
yp(x) = -tfrac13 e^x + tfrac16 x - tfrac4718

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^(-1+raiz7)x + C2 e^(-1-raiz7)x -tfrac13 e^x + tfrac16 x - tfrac4718

Resposta

y(x) = C1 e^(-1+raiz7)x + C2 e^(-1-raiz7)x -13e^x + 16x - 4718

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