Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de duas partes: a solução homogênea (resolvendo o característico) e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada
e fazemos a substituição
, levando ao polinômio característico
Resolvendo em
:
Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea de termo
, suponho uma solução particular da forma
já que
e
não são soluções da homogênea.
Passo 4
Calculo as derivadas de
e substituo na equação original para determinar
e
:
Então
Como isso deve ser igual a
, igualamos coeficientes:
Assim
Passo 5
Pela linearidade, a solução geral é