Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
2 y^prime prime+3 y^prime-y=e^x+e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
2y^primeprime+3y^prime-y = e^x+e^-x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de duas partes: a solução homogênea (resolvendo o característico) e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada
2y^primeprime+3y^prime-y = 0
e fazemos a substituição y=e^rx, levando ao polinômio característico
2r^2 + 3r - 1 = 0
Resolvendo em r:
r = -3 pm raiz3^2 - 4cdot2cdot(-1)2cdot2 = -3 pm raiz9 + 84 = -3 pm raiz174
Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1e^-3 + raiz174,x ;+; C2e^-3 - raiz174,x

Passo 3

Para a parte não homogênea de termo e^x+e^-x, suponho uma solução particular da forma
yp(x) = A,e^x + B,e^-x,
já que e^x e e^-x não são soluções da homogênea.

Passo 4

Calculo as derivadas de yp e substituo na equação original para determinar A e B:
yp^prime = A,e^x - B,e^-x, yp^primeprime = A,e^x + B,e^-x
Então
2yp^primeprime+3yp^prime-yp =2(Ae^x+Be^-x)+3(Ae^x-Be^-x)-(Ae^x+Be^-x) =(4A)e^x+(-2B)e^-x
Como isso deve ser igual a e^x+e^-x, igualamos coeficientes:
4A = 1, -2B = 1 Longrightarrow A = tfrac14, B = -tfrac12
Assim
yp(x) = tfrac14,e^x ;-;tfrac12,e^-x

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^-3 + raiz174,x + C2e^-3 - raiz174,x + tfrac14,e^x - tfrac12,e^-x

Resposta

boxedy(x) = C1e^-3 + raiz174,x + C2e^-3 - raiz174,x + 14e^x - 12e^-x

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