Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método da variação de parâmetros para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' - 2y' + y = e^x sec(x)
usando o método da variação de parâmetros.
Conteúdo necessário: (i) solução geral da equação homogênea associada, (ii) fundamentos da variação de parâmetros (funções fundamentais, Wronskiano e fórmulas de u1', u2'), e (iii) integração para obter as funções de variação.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r - 1)^2 = 0
logo r=1 com multiplicidade 2. Assim, uma base de soluções fundamentais é
y1(x) = e^x, y2(x) = x e^x,
e a solução geral da homogênea é
yc(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Para a variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^x & x e^x [3pt] e^x & e^x + x e^x = e^x,(e^x + x e^x) - x e^xcdot e^x = e^2x
Denotamos o termo não-homogêneo por f(x)=e^xsec x.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem
u1'(x) = -y2(x),f(x)W(x), u2'(x) = y1(x),f(x)W(x)
Substituindo,
u1'(x) = -x e^x cdot e^xsec xe^2x = -,xsec x, u2'(x) = e^xcdot e^xsec xe^2x = sec x

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u2(x) = integral sec x ,dx = lnl|sec x + tan xr| + K2
u1(x) = -integral xsec x ,dx
Para integral xsec x,dx usamos integração por partes:
escolhendo U = x, dV = sec x,dx, resulta
integral xsec x,dx = xlnl|sec x + tan xr| - integral lnl|sec x + tan xr|,dx
Podemos guardar
I(x)=integral lnl|sec x + tan xr|,dx
como integral auxiliar.

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)
Substituindo y1=e^x e y2= x e^x:
yp(x) = -l(integral xsec x,dxr),e^x + l(ln|sec x + tan x|r),x e^x
Ou seja,
yp(x) = -e^xintegral xsec x,dx + x e^xlnl|sec x + tan xr|
Finalmente, a solução geral da não-homogênea é
y(x) = yc(x) + yp(x)

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x ;-; e^x!integral xsec x,dx ;+; x e^x lnl|sec x + tan xr|
Aqui
integral xsec x,dx = xlnl|sec x + tan xr| - integral lnl|sec x + tan xr|,dx,
podendo deixar a integral final em forma fechada como acima.

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