Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando
O método dos coeficientes a determinar.
(a) y^prime prime-3 y^prime-4 y=3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'-4y=3e^2x
usando o método dos coeficientes a determinar, ou seja, vamos somar a solução homogênea à particular.

Passo 2

Primeiro a gente encontra a solução complementar (homogênea). Para isso montamos a equação característica
r^2-3r-4=0
que fatorando dá
(r-4)(r+1)=0
Logo as raízes são r=4 e r=-1, e a solução homogênea é
yh(x)=C1e^4x+C2e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma yp=Ae^2x, pois o termo forçante é um exponencial e 2 não é raiz da característica. Calculando as derivadas:
yp'=2Ae^2x,
yp''=4Ae^2x
Substituindo na equação original:
4Ae^2x-3(2Ae^2x)-4(Ae^2x)=(4A-6A-4A)e^2x=-6Ae^2x
Isso deve ser igual a 3e^2x, então
-6A=3,Rightarrow,A=-tfrac12
Logo
yp(x)=-tfrac12e^2x

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular, ou seja:
y(x)=yh(x)+yp(x)=C1e^4x+C2e^-x-tfrac12e^2x

Resposta

A solução geral é y(x)=C1e^4x+C2e^-x-tfrac12e^2x.

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