Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando
O método dos operadores.
(b) 2 y^prime prime+3 y^prime+y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogenéo 2y''+3y'+y=x^2. O conteúdo que vamos usar é o método dos operadores diferenciais=D, onde interpretamos a equação como (2D^2+3D+1)y=x^2.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada 2y''+3y'+y=0. No operador, isso é (2D^2+3D+1)y=0. O polinômio característico é 2r^2+3r+1=0, cuja resolução dá
r=-3pmraiz9-84=-3pm14implies r1=-tfrac12, r2=-1

Passo 3

Logo a solução complementar é yc=C1e^-x/2+C2e^-x.

Passo 4

Para encontrar uma particular yp usamos tentativa de polinômios, pois o termo de forçamento é x^2. Assumimos yp=Ax^2+Bx+C. Calculamos as derivadas:
yp'=2Ax+B, yp''=2A Substituímos em 2y''+3y'+y=x^2 e obtemos
2(2A)+3(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C)=x^2 Reagrupando termos:
Ax^2+(6A+B)x+(4A+3B+C)=x^2+0x+0 Igualando coeficientes:
A=1,6A+B=0Rightarrow B=-6,4A+3B+C=0Rightarrow4-18+C=0implies C=14

Passo 5

Portanto yp=x^2-6x+14.

Passo 6

A solução geral é a soma da complementar com a particular: y=yc+yp.

Resposta

y(x)=C1e^-x/2+C2e^-x+x^2-6x+14

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