Determine a solução geral das equações:
(1.0 pontos) y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=0 ; \quad y=y(x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes
y''' - 4y' = 0.
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos uma solução y = e^{rx}. Substituindo na EDO obtém-se o polinômio característico:
r^3 - 4r = 0.
Fatorando, temos
r(r^2 - 4)=0 \quad\implies\quad r=0,\;r=2,\;r=-2.

Passo 3

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das soluções básicas e^{rx}:
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}.

Passo 4

Como e^{0\cdot x}=1, simplificamos para
y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x},
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}.

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