( \mathbf{5 , 0} \mathbf{~ pts} ) Represente uma das integrais indefinidas como uma série de potências, em seguida calcule a integral: { }^{12}
\int e^{-x^{2}} d x
Dica: Para o item a), encontre a expansāo em série da funçāo \operatorname{sen}(x) e para o item b) obtenha a expansão em série da função e^{x}, depois troque x por -x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para representar a integral indefinida
\int e^{-x^{2}}\,dx
como série de potências e, em seguida, calculá-la. Vamos usar a expansão em série da função e^{x} (como sugerido na dica do item b), depois substituir x por -x^{2} para obter a série de e^{-x^{2}} e integrar termo a termo.

Passo 2

Recordando a expansão em série de Taylor de e^{x} em torno de 0, temos
e^{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.

Passo 3

Fazendo a troca de variável x\mapsto -x^{2} na série acima, obtemos a expansão de e^{-x^{2}}:
e^{-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{n!}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo a série de e^{-x^{2}}. Para cada termo
\displaystyle \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!},
a primitiva é
\int \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}\,dx =\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 5

Somando todas as primitivas e acrescentando a constante de integração C, chegamos a
\int e^{-x^{2}}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C.

Resposta

\boxed{\int e^{-x^{2}}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}+C.}

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