(
) Represente uma das integrais indefinidas como uma série de potências, em seguida calcule a integral:
Dica: Para o item a), encontre a expansāo em série da funçāo
e para o item b) obtenha a expansão em série da função
, depois troque x por
Dica: Para o item a), encontre a expansāo em série da funçāo
Passo 1
O enunciado pede para representar a integral indefinida
como série de potências e, em seguida, calculá-la. Vamos usar a expansão em série da função
(como sugerido na dica do item b), depois substituir
por
para obter a série de
e integrar termo a termo.
Passo 2
Recordando a expansão em série de Taylor de
em torno de
, temos
Passo 3
Fazendo a troca de variável
na série acima, obtemos a expansão de
:
Passo 4
Agora integramos termo a termo a série de
. Para cada termo
,
a primitiva é
a primitiva é
Passo 5
Somando todas as primitivas e acrescentando a constante de integração
, chegamos a