(2.0 pontos) Determine a solução geral da equação
2 y-x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2\,y - x\,y' = 0
e pede a solução geral y(x). O método mais direto aqui é reconhecer que ela é separável ao isolar y'.

Passo 2

Reescrevendo a equação temos
2\,y = x\,y'
ou seja
y' = \frac{2}{x}\,y.
Essa forma y' = g(x)\,y indica que podemos separar variáveis.

Passo 3

Separamos as variáveis y e x e integramos:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{2}{x}\,dx.
Ao integrar, obtemos
\ln\!\bigl|y\bigr| = 2\,\ln\!\bigl|x\bigr| + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.

Passo 4

Usamos propriedades dos logaritmos para combinar termos:
\ln\!\bigl|y\bigr| = \ln\!\bigl|x^2\bigr| + C_1 = \ln\!\bigl(e^{C_1}x^2\bigr).
Definindo C = \pm e^{C_1}, chegamos a
y = C\,x^2,
que é a família de soluções gerais.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = C\,x^2,\quad C \in \mathbb{R}.}

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