Obtenha soluções particulares das equações: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{x} \cos (x).
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação não homogênea
y'' + 2y' + y = e^{x}\cos(x).
O método de coeficientes indeterminados é apropriado aqui porque o segundo membro é da forma e^{ax} vezes função trigonométrica. Vamos supor uma solução particular da forma
y_{p}(x) = e^{x}\bigl(A\cos(x) + B\sin(x)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada de y_{p}. Como
y_{p}(x) = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
então
y_{p}'(x) = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr).
Passo 3
Agora a segunda derivada:
y_{p}''(x) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-(A+B)\sin x + (B - A)\cos x\bigr) = e^{x}\bigl(2B\cos x -2A\sin x\bigr).
Passo 4
Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação
y''+2y'+y = e^{x}\cos x.
O lado esquerdo torna-se
e^{x}\bigl(2B\cos x -2A\sin x\bigr) +2\,e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr) +e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).