Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{x} \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação não homogênea
y'' + 2y' + y = e^{x}\cos(x).
O método de coeficientes indeterminados é apropriado aqui porque o segundo membro é da forma e^{ax} vezes função trigonométrica. Vamos supor uma solução particular da forma
y_{p}(x) = e^{x}\bigl(A\cos(x) + B\sin(x)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y_{p}. Como
y_{p}(x) = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
então
y_{p}'(x) = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr).

Passo 3

Agora a segunda derivada:
y_{p}''(x) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-(A+B)\sin x + (B - A)\cos x\bigr) = e^{x}\bigl(2B\cos x -2A\sin x\bigr).

Passo 4

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação
y''+2y'+y = e^{x}\cos x.
O lado esquerdo torna-se
e^{x}\bigl(2B\cos x -2A\sin x\bigr) +2\,e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr) +e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Agrupando termos em \cos x e \sin x, obtemos
e^{x}\Bigl((3A+4B)\cos x +(-4A+3B)\sin x\Bigr).
Isso deve coincidir com e^{x}\cos x, ou seja,
3A + 4B = 1, \qquad -4A + 3B = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3A + 4B = 1,\\\\ -4A + 3B = 0, \end{cases}
da segunda equação vem 3B = 4A\Rightarrow B=\tfrac{4A}{3}. Substituindo em 3A+4B=1:
3A + 4\cdot\frac{4A}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25A}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{3}{25},
B = \frac{4}{3}\,A = \frac{4}{25}.

Resposta

Uma solução particular é
y_{p}(x) = e^{x}\Bigl(\tfrac{3}{25}\cos x + \tfrac{4}{25}\sin x\Bigr).

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