Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=1+3 \cdot 4^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da recorrência
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=1+3\cdot4^{n}.
Informações dadas:
\text{(i) } \text{recorrência linear de ordem }2\text{ com coeficientes constantes;}ê
\text{(ii) } \text{termo não-homogêneo é a soma de uma constante }(1)\text{ e de }3\cdot4^{n}.ãêé
Pergunta explícita: determinar a solução geral \{x_n\}, ou seja, a forma de x_n válida para todo n, envolvendo constantes arbitrárias (pois não foram fornecidas condições iniciais).

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a parte homogênea associada, que vem de anular o lado direito. A recorrência homogênea é
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=0.
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. Suponha uma solução da forma x_n=r^n. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-5r+6=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorá-la:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=2 e r=3.

Passo 3

Quando as raízes da característica são distintas r_1 e r_2, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes. Assim a solução homogênea é
x_n^{(h)}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais (se fossem dadas).
Explicação didática curta: isso vem do princípio da superposição e do fato de que 2^n e 3^n são soluções lineares independentes da recorrência homogênea.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular x_n^{(p)} da recorrência completa. Pelo princípio da superposição, como o lado direito é soma de duas partes ( 1 e 3\cdot4^n), podemos procurar uma particular como soma de duas particulares:
x_n^{(p)}=x_n^{(p1)}+x_n^{(p2)},
onde x_n^{(p1)} resolve a recorrência com lado direito 1 e x_n^{(p2)} resolve a recorrência com lado direito 3\cdot4^n.
Vou explicar o método de coeficientes a prioris: escolhemos uma forma para a solução particular baseada no tipo do termo fonte (constante, exponencial, polinomial vezes exponencial, seno/cosseno, etc.). Se a forma escolhida for solução da homogênea, multiplicamos por n (ou por n^k se multiplicidade maior) — isso é o tratamento de ressonância. Aqui vamos aplicar isso.

Passo 5

Procurando x_n^{(p1)} para o termo constante 1. Tentamos uma constante x_n^{(p1)}=C (porque o lado é constante). Substituindo na recorrência:
C-5C+6C=(1-5+6)C=2C.
Queremos que isso seja igual a 1, então
2C=1 \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{2}.
Portanto uma particular para o termo constante é
x_n^{(p1)}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora encontramos x_n^{(p2)} para o termo 3\cdot4^{n}. Como o lado é da forma k\cdot r^{n} com r=4 e 4 NÃO é raiz da característica (as raízes eram 2 e 3), tentamos uma particular da forma
x_n^{(p2)}=\alpha\cdot 4^{n},
onde \alpha é coeficiente desconhecido. Substituímos na recorrência:
\alpha 4^{n+2} -5\alpha 4^{n+1} +6\alpha 4^{n} = \alpha 4^{n}\bigl(4^{2}-5\cdot4+6\bigr).
Calculamos o coeficiente numérico:
4^{2}-5\cdot4+6=16-20+6=2.
Logo a expressão fica
\alpha 4^{n}\cdot 2 = 2\alpha 4^{n}.
Queremos que isso seja igual a 3\cdot4^{n}, então
2\alpha 4^{n} = 3\cdot4^{n} \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{3}{2}.
Portanto
x_n^{(p2)}=\tfrac{3}{2}\,4^{n}.

Passo 7

Somando as duas particulares obtemos uma particular da recorrência completa:
x_n^{(p)}=x_n^{(p1)}+x_n^{(p2)}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\,4^{n}.
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com uma particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\,4^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso venham a ser fornecidas.
Comentário didático final: se por acaso o termo não-homogêneo tivesse sido, por exemplo, k\cdot2^{n} (com base igual a uma raiz da característica), teríamos ressonância e a tentativa \alpha 2^{n} falharia porque estaria na solução homogênea; nesse caso multiplicaríamos por n e tentaríamos \alpha n 2^{n}. Como aqui a base 4 não coincide com as raízes 2 ou 3, não houve ressonância.

Resposta

x_n = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\,4^{n}

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