Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da recorrência
Informações dadas:
Pergunta explícita: determinar a solução geral
, ou seja, a forma de
válida para todo
, envolvendo constantes arbitrárias (pois não foram fornecidas condições iniciais).
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a parte homogênea associada, que vem de anular o lado direito. A recorrência homogênea é
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. Suponha uma solução da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorá-la:
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Quando as raízes da característica são distintas
e
, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes. Assim a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais (se fossem dadas).
Explicação didática curta: isso vem do princípio da superposição e do fato de que
e
são soluções lineares independentes da recorrência homogênea.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da recorrência completa. Pelo princípio da superposição, como o lado direito é soma de duas partes (
e
), podemos procurar uma particular como soma de duas particulares:
onde
resolve a recorrência com lado direito
e
resolve a recorrência com lado direito
.
Vou explicar o método de coeficientes a prioris: escolhemos uma forma para a solução particular baseada no tipo do termo fonte (constante, exponencial, polinomial vezes exponencial, seno/cosseno, etc.). Se a forma escolhida for solução da homogênea, multiplicamos por
(ou por
se multiplicidade maior) — isso é o tratamento de ressonância. Aqui vamos aplicar isso.
Passo 5
Procurando
para o termo constante
. Tentamos uma constante
(porque o lado é constante). Substituindo na recorrência:
Queremos que isso seja igual a
, então
Portanto uma particular para o termo constante é
Passo 6
Agora encontramos
para o termo
. Como o lado é da forma
com
e
NÃO é raiz da característica (as raízes eram
e
), tentamos uma particular da forma
onde
é coeficiente desconhecido. Substituímos na recorrência:
Calculamos o coeficiente numérico:
Logo a expressão fica
Queremos que isso seja igual a
, então
Portanto
Passo 7
Somando as duas particulares obtemos uma particular da recorrência completa:
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com uma particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso venham a ser fornecidas.
Comentário didático final: se por acaso o termo não-homogêneo tivesse sido, por exemplo,
(com base igual a uma raiz da característica), teríamos ressonância e a tentativa
falharia porque estaria na solução homogênea; nesse caso multiplicaríamos por
e tentaríamos
. Como aqui a base
não coincide com as raízes
ou
, não houve ressonância.