Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da recorrência
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (a parte sem o termo
):
Método: assumimos uma solução da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática para achar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
portanto as raízes são
e
, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvessem).
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da recorrência completa
Regra prática (método dos coeficientes a determinar): como o termo não-homogêneo é
, tentamos um palpite da forma
. Porém
é raiz da equação característica (com multiplicidade
), então devemos multiplicar o palpite por
. Logo tentamos
onde
é uma constante a determinar. Explicando: multiplicamos por
porque a forma
já aparece na solução homogênea; multiplicando por
garantimos independência linear.
Passo 5
Calculamos
e
para substituir na recorrência.
Substituindo na esquerda da recorrência:
Agora simplificamos o colchete:
Portanto a esquerda vale
Queremos que isso seja igual ao termo não-homogêneo
. Assim
Logo uma solução particular é
Passo 6
A solução geral da recorrência é soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se fornecidas. Observação prática: podemos agrupar os termos em
se quisermos:
mas normalmente deixamos como soma clara de termo homogêneo mais particular.