Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=2^{n}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da recorrência
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=2^n.
Informações dadas:
\text{(i)}\quad \text{recorrência linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo }2^n.êãê
\text{(ii)}\quad \text{queremos a solução geral }x_n\text{, i.e., solução homogênea + particular.}çãçãê

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (a parte sem o termo 2^n):
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0.
Método: assumimos uma solução da forma x_n=r^n. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-5r+6=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para achar os valores de r.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes:
x_n^{(h)}=A\cdot 2^n + B\cdot 3^n,
onde A e B são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvessem).

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular x_n^{(p)} da recorrência completa
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=2^n.
Regra prática (método dos coeficientes a determinar): como o termo não-homogêneo é 2^n, tentamos um palpite da forma C\cdot 2^n. Porém 2 é raiz da equação característica (com multiplicidade 1), então devemos multiplicar o palpite por n. Logo tentamos
x_n^{(p)} = C\,n\,2^n,
onde C é uma constante a determinar. Explicando: multiplicamos por n porque a forma 2^n já aparece na solução homogênea; multiplicando por n garantimos independência linear.

Passo 5

Calculamos x_{n+1}^{(p)} e x_{n+2}^{(p)} para substituir na recorrência.
x_n^{(p)} = C n 2^n,
x_{n+1}^{(p)} = C (n+1) 2^{n+1},
x_{n+2}^{(p)} = C (n+2) 2^{n+2}.
Substituindo na esquerda da recorrência:
x_{n+2}^{(p)}-5x_{n+1}^{(p)}+6x_n^{(p)} = C2^{n}\bigl[4(n+2)-10(n+1)+6n\bigr].
Agora simplificamos o colchete:
4(n+2)-10(n+1)+6n = 4n+8-10n-10+6n = (4-10+6)n + (8-10) = 0\cdot n -2 = -2.
Portanto a esquerda vale
C2^{n}(-2) = -2C\,2^{n}.
Queremos que isso seja igual ao termo não-homogêneo 2^n. Assim
-2C\,2^{n} = 2^{n} \quad\Longrightarrow\quad -2C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.
Logo uma solução particular é
x_n^{(p)} = -\tfrac{1}{2} n 2^n.

Passo 6

A solução geral da recorrência é soma da solução homogênea com a particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n -\tfrac{1}{2} n 2^n,
onde A e B são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se fornecidas. Observação prática: podemos agrupar os termos em 2^n se quisermos:
x_n = \bigl(A - \tfrac{1}{2}n\bigr)2^n + B\,3^n,
mas normalmente deixamos como soma clara de termo homogêneo mais particular.

Resposta

x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n -\tfrac{1}{2}n\,2^n

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