3^{\mathrm{a}}\) Questão ( 2,0 pontos): Seja \(f(x, y)\) dada abaixo. Para cada item calcule o limite \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\), se existir, ou mostre que o limite não existe. Mostra ainda se a função é contínua ou não no ponto ( 0,0 ). Justifique adequadamente sua respósta. \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o limite
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
e depois determinar se f é contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e definição de continuidade.]

Passo 2

Para investigar \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, é comum usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo, obtemos
f(r,\theta) = \frac{(r\cos\theta)^{3}}{r^{2}} = r\cos^{3}\theta.
Logo, para todo \theta,
\bigl|f(r,\theta)\bigr| = \bigl|r\cos^{3}\theta\bigr| \le r\cdot\bigl|\cos^{3}\theta\bigr| \le r.

Passo 3

Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), o valor r tende a zero. Pelas desigualdades acima,
-\;r\;\le\;f(r,\theta)\;\le\;r \quad\Longrightarrow\quad \lim_{r\to0}f(r,\theta)=0.
Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 4

Para verificar continuidade em (0,0), comparamos o limite com o valor definido f(0,0)=1. Vimos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq 1=f(0,0),
portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0,
e f não é contínua em (0,0).

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