Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas
x y=a,
onde a é um parâmetro.

ENTREGUE ESTA FOLHA JUNTO COM SUAS FOLHAS DE RESOLUÇÃO

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
x\,y = a,
onde a é um parâmetro. O conteúdo é “traçadoras ortogonais” e vamos precisar:
  1. Diferenciar implicitamente a curva original para obter sua inclinação y'.
  2. Trocar essa inclinação pelo negativo recíproco para achar a inclinação das trajetórias ortogonais.
  3. Resolver a equação diferencial obtida por separação de variáveis e integração.

Passo 2

Começamos diferenciando implicitamente
x\,y = a
em relação a x. Usando produto,
x\,\frac{dy}{dx} + y = 0.
Logo a inclinação da família original é
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, a inclinação em cada ponto deve ser o negativo recíproco de -y/x. Assim
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}.

Passo 4

Resolvemos por separação de variáveis:
y\,dy = x\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2,
y^2 - x^2 = C'.

Resposta

y^2 - x^2 = C,
que é a família de trajetórias ortogonais ao conjunto xy=a.

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