Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas
onde
é um parâmetro.
ENTREGUE ESTA FOLHA JUNTO COM SUAS FOLHAS DE RESOLUÇÃO
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
onde
é um parâmetro. O conteúdo é “traçadoras ortogonais” e vamos precisar:
- Diferenciar implicitamente a curva original para obter sua inclinação
. - Trocar essa inclinação pelo negativo recíproco para achar a inclinação das trajetórias ortogonais.
- Resolver a equação diferencial obtida por separação de variáveis e integração.
Passo 2
Começamos diferenciando implicitamente
em relação a
. Usando produto,
Logo a inclinação da família original é
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais, a inclinação em cada ponto deve ser o negativo recíproco de
. Assim
Passo 4
Resolvemos por separação de variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Multiplicando por 2,
Resposta
que é a família de trajetórias ortogonais ao conjunto
.