Determine a solução geral de:
(x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0, x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + 2x,y' + 2y = 0, x>0
O conteúdo aqui é reconhecer que, em equações do tipo
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0,
fazemos a substituição y = x^m para obter uma equação algébrica em m.

Passo 2

Supondo y=x^m, temos
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação,
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + 2xl[mx^m-1r] + 2x^m = 0
o que dá
m(m-1)x^m + 2m,x^m + 2x^m = 0
Fatorando x^mneq0, obtemos a equação característica
m(m-1) + 2m + 2 = 0,
isto é
m^2 + m + 2 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = 1 - 4cdot1cdot2 = -7
Como De<a<0, as raízes são complexas:
m = -1 pm iraiz72

Passo 4

Para uma equação de Euler com raízes m = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = x^alphal(C1cos(betaln x) + C2sin(betaln x)r)

Passo 5

Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz72. Substituindo, a solução geral fica
y(x) = x^-tfrac12l(C1cos!l(tfracraiz72ln xr) + C2sin!l(tfracraiz72ln xr)r),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = x^-tfrac12l(C1cos!l(tfracraiz72ln xr) + C2sin!l(tfracraiz72ln xr)r)

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