Determine a solução geral de:
(x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0, x>0)
(x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0, x>0)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
O conteúdo aqui é reconhecer que, em equações do tipo
fazemos a substituição
para obter uma equação algébrica em
.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na equação,
o que dá
Fatorando
, obtemos a equação característica
isto é
Passo 3
Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas:
Passo 4
Para uma equação de Euler com raízes
, a solução geral é
Passo 5
Aqui
e
. Substituindo, a solução geral fica
com
e
constantes arbitrárias.