Intervalo de definição. Examinando um problema de valor inicial d y / d x=f(x, y) com y(x0)=y0, nem sempre é possível determinar o domínio da solução y(x) ou o intervalo sobre o qual a função y(x) satisfaz a equação diferencial.
(a) Resolva a equação d y / d x=x y^3.
(b) Dê explicitamente as soluções para o problema de valor inicial com y(0)=1 ; y(0)=1 / 2 ; y(0)=2.
(c) Determine os domínios das soluções no item (b).
(d) Conforme encontrado no item (c), os domínios das soluções dependem das condições iniciais. Para o problema de valor inicial d y / d x=x y^3 com y(0)=a, a>0, mostre que, à medida que a se aproxima de zero pela direita, o domínio se aproxima da linha inteira ( -infty, infty ), e à medida que a se aproxima de +infty, o domínio encolhe para um único ponto.
(e) Esboce as soluções para o problema de valor inicial d y / d x=x y^3 com y(0)=a para a= pm 1 / 2, pm 1 e pm 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
dydx=x,y^3
com condição inicial y(0)=a. Vamos usar separação de variáveis, integrar, depois aplicar casos a=1, a=tfrac12, a=2, determinar o domínio de cada solução, estudar o comportamento do domínio quando ato0^+ e ato+infty e, por fim, esboçar as curvas para a=pmtfrac12,pm1,pm2.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy^3=x,dx
e integramos ambos os lados. No lado esquerdo tem-se
integral y^-3,dy=-tfrac12,y^-2+C1,
e no lado direito
integral x,dx=tfrac12,x^2+C2
Igualando (absorvendo constantes num único C) obtemos
-tfrac12,y^-2=tfrac12,x^2+C Longrightarrow y^-2=-x^2-2C

Passo 3

Definindo A=-2C, a solução geral fica
1y^2=A - x^2 Longrightarrow y^2=1A - x^2,
ou seja
y(x)=pm1raizA - x^2
Para a condição inicial y(0)=a temos a^2=1/A, logo A=1/a^2 e
y(x)=pmaraiz,1 - a^2x^2,
Escolhendo o sinal conforme o sinal de a, tomamos
y(x)=araiz1 - a^2x^2

Passo 4

Aplicando a=1, a=tfrac12, a=2:
y(x)l|a=1&=1raiz1 - x^2, y(x)l|a=1/2&=tfrac12raiz1 - tfrac14 x^2 =12,raiz1 - tfracx^24, y(x)l|a=2&=2raiz1 - 4x^2

Passo 5

O domínio de cada solução é dado pelos x tais que o denominador não se anula e o radicando é positivo:
1 - a^2x^2>0 Longrightarrow |x|<1a
Logo
para a=1:& |x|<1, para a=tfrac12:& |x|<2, para a=2:& |x|<tfrac12

Passo 6

Para y(0)=a>0 o domínio é l(-1/a,,1/ar).
Quando ato0^+, 1/ato+infty e o domínio tende a (-infty,infty).
Quando ato+infty, 1/ato0^+ e o domínio encolhe até o ponto x=0.

Passo 7

No plano (x,y) as curvas
y(x)=araiz1 - a^2x^2
têm ramo positivo para xin(-1/a,1/a) com assimptotas verticais em x=pm1/a, e o ramo negativo igual invertendo o sinal de a. Para a=pmtfrac12,pm1,pm2 obtemos seis hipérbolas abertas com essas características, simétricas em relação à origem.

Resposta

a) A solução geral é
y(x)=pm1raizA - x^2
e, com y(0)=a,
y(x)=araiz1 - a^2x^2
b) Para y(0)=1, y(0)=tfrac12, y(0)=2:
y(x)=1raiz1 - x^2, y(x)=12raiz1 - x^2/4, y(x)=2raiz1 - 4x^2,
respectivamente.
c) Os domínios são
(-1,1),(-2,2),l(-tfrac12,tfrac12r),
respectivamente.
d) Para y(0)=a>0 o domínio é l(-1/a,1/ar). Quando ato0^+ isso vai a (-infty,infty) e quando ato+infty encolhe para 0.
e) Os esboços são hipérbolas com dois ramos (positivo e negativo) que se tornam mais “abertas” quanto menor |a| e mais “fechadas” quanto maior |a|, com assimptotas verticais em x=pm1/a.

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