Intervalo de definição. Examinando um problema de valor inicial com , nem sempre é possível determinar o domínio da solução ou o intervalo sobre o qual a função satisfaz a equação diferencial.
(a) Resolva a equação .
(b) Dê explicitamente as soluções para o problema de valor inicial com .
(c) Determine os domínios das soluções no item (b).
(d) Conforme encontrado no item (c), os domínios das soluções dependem das condições iniciais. Para o problema de valor inicial com , mostre que, à medida que se aproxima de zero pela direita, o domínio se aproxima da linha inteira ( ), e à medida que se aproxima de , o domínio encolhe para um único ponto.
(e) Esboce as soluções para o problema de valor inicial para .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO separável
com condição inicial . Vamos usar separação de variáveis, integrar, depois aplicar casos , , , determinar o domínio de cada solução, estudar o comportamento do domínio quando e e, por fim, esboçar as curvas para .
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
e integramos ambos os lados. No lado esquerdo tem-se
e no lado direito
Igualando (absorvendo constantes num único ) obtemos
Passo 3
Definindo , a solução geral fica
ou seja
Para a condição inicial temos , logo e
Escolhendo o sinal conforme o sinal de , tomamos
Passo 4
Aplicando , , :
Passo 5
O domínio de cada solução é dado pelos x tais que o denominador não se anula e o radicando é positivo:
1 - a^2x^2>0 Longrightarrow |x|<1a
Logo
para a=1:& |x|<1, para a=tfrac12:& |x|<2, para a=2:& |x|<tfrac12
Passo 6
Para y(0)=a>0 o domínio é l(-1/a,,1/ar).
Quando ato0^+, 1/ato+infty e o domínio tende a (-infty,infty).
Quando ato+infty, 1/ato0^+ e o domínio encolhe até o ponto x=0.
Passo 7
No plano (x,y) as curvas
y(x)=araiz1 - a^2x^2
têm ramo positivo para xin(-1/a,1/a) com assimptotas verticais em x=pm1/a, e o ramo negativo igual invertendo o sinal de a. Para a=pmtfrac12,pm1,pm2 obtemos seis hipérbolas abertas com essas características, simétricas em relação à origem.
d) Para y(0)=a>0 o domínio é l(-1/a,1/ar). Quando ato0^+ isso vai a (-infty,infty) e quando ato+infty encolhe para 0.
e) Os esboços são hipérbolas com dois ramos (positivo e negativo) que se tornam mais “abertas” quanto menor |a| e mais “fechadas” quanto maior |a|, com assimptotas verticais em x=pm1/a.