O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) homogêneas de segunda ordem, usando autovalores e autovetores (isto é, convertendo em sistema de primeira ordem e resolvendo por diagonalização):
EDO A: y''+3y'-y=0 com condições iniciais y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
EDO B: 32\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-49\frac{dx}{dt}+11x=0.
Informações disponíveis: os coeficientes das equações e, para a EDO A, as condições iniciais. O objetivo é obter a solução geral (para B) e a solução particular que satisfaz as condições iniciais (para A), usando o método de autovalores/autovetores.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e sem pular etapas). Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com incógnita z(t),
z'' + a z' + b z = 0,
fazemos a redução de ordem transformando em um sistema de primeira ordem. Definimos o vetor
onde A é uma matriz 2\times2. Para resolver u'=Au procuramos autovalores \lambda e autovetores v de A (soluções de (A-\lambda I)v=0). Se A tem autovalores distintos \lambda_1,\lambda_2 com autovetores v_1,v_2, a solução geral é
Portanto podemos escolher v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_1\end{pmatrix} e v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_2\end{pmatrix}. (Explicação: qualquer múltiplo de um autovetor também é autovetor; tomar primeira componente 1 facilita.)]
Passo 6
Escrever a solução geral do sistema e extrair y(t). Pela combinação linear: