Resolva as EDO’s, utilizando os autovalores e autovetores.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0 \quad 32 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-49 \frac{d x}{d t}+11 x=0
\begin{aligned} & y(0)=1 \\\ & y^{\prime}(0)=2\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) homogêneas de segunda ordem, usando autovalores e autovetores (isto é, convertendo em sistema de primeira ordem e resolvendo por diagonalização):
  • EDO A: y''+3y'-y=0 com condições iniciais y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
  • EDO B: 32\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-49\frac{dx}{dt}+11x=0.
Informações disponíveis: os coeficientes das equações e, para a EDO A, as condições iniciais. O objetivo é obter a solução geral (para B) e a solução particular que satisfaz as condições iniciais (para A), usando o método de autovalores/autovetores.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e sem pular etapas). Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com incógnita z(t),
z'' + a z' + b z = 0,
fazemos a redução de ordem transformando em um sistema de primeira ordem. Definimos o vetor
u(t)=\begin{pmatrix}u_1(t)\\[4pt]u_2(t)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}z(t)\\[4pt]z'(t)\end{pmatrix}.
Então
u_1' = u_2,\qquad u_2' = -b u_1 - a u_2,
ou seja
u' = A u,
onde A é uma matriz 2\times2. Para resolver u'=Au procuramos autovalores \lambda e autovetores v de A (soluções de (A-\lambda I)v=0). Se A tem autovalores distintos \lambda_1,\lambda_2 com autovetores v_1,v_2, a solução geral é
u(t)=C_1 v_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 v_2 e^{\lambda_2 t},
e a componente u_1(t) dá a solução z(t). Agora aplicamos isso passo a passo nas duas EDOs.]

Passo 3

Resolução da EDO A: construir o sistema em primeira ordem para y.
Definimos
u_1=y,\qquad u_2=y'.
Então
u_1' = u_2,\qquad u_2' = y'' = -3y' + y = u_1 - 3u_2.
Em forma matricial:
u' = A u,\qquad A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Encontrar os autovalores de A. Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & -3-\lambda\end{pmatrix} = \lambda(\lambda+3)-1 = \lambda^2+3\lambda-1.
Resolvendo \lambda^2+3\lambda-1=0 pelas fórmulas de Bhaskara:
\lambda = \frac{-3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.
Chamamos
\lambda_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},\qquad \lambda_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}.]

Passo 5

Determinar os autovetores correspondentes. Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0. Da primeira linha de (A-\lambda I)v=0 temos
-\lambda v_1 + v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \lambda v_1.
Portanto podemos escolher v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_1\end{pmatrix} e v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_2\end{pmatrix}. (Explicação: qualquer múltiplo de um autovetor também é autovetor; tomar primeira componente 1 facilita.)]

Passo 6

Escrever a solução geral do sistema e extrair y(t). Pela combinação linear:
u(t)=C_1 \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_1\end{pmatrix} e^{\lambda_1 t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_2\end{pmatrix} e^{\lambda_2 t}.
A componente u_1(t)=y(t) é
y(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t},
e a derivada é
y'(t)=C_1\lambda_1 e^{\lambda_1 t}+C_2\lambda_2 e^{\lambda_2 t}.]

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Em t=0:
y(0)=C_1+C_2=1,
y'(0)=C_1\lambda_1 + C_2\lambda_2 = 2.
Resolvemos o sistema linear. Subtraindo \lambda_2 vezes a primeira equação da segunda:
C_1(\lambda_1-\lambda_2) = 2-\lambda_2 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{2-\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}.
Observe que \lambda_1-\lambda_2 = \sqrt{13} (pois \lambda_1-\lambda_2 = \dfrac{(-3+\sqrt{13})-(-3-\sqrt{13})}{2}=\sqrt{13}). Substituímos \lambda_2=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}:
2-\lambda_2 = 2 - \frac{-3-\sqrt{13}}{2} = \frac{7+\sqrt{13}}{2}.
Logo
C_1 = \frac{\frac{7+\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{13}} = \frac{7+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}.
E então
C_2 = 1-C_1 = 1-\frac{7+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}-7}{2\sqrt{13}}.

Passo 8

Escrever a solução final para y(t) usando os valores encontrados:
y(t)=\frac{7+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\,e^{\frac{-3+\sqrt{13}}{2}t} +\frac{\sqrt{13}-7}{2\sqrt{13}}\,e^{\frac{-3-\sqrt{13}}{2}t}.
(Isto é a solução da EDO A que satisfaz y(0)=1,\;y'(0)=2.)

Passo 9

Agora resolvemos a EDO B. Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por 32:
x'' - \frac{49}{32}x' + \frac{11}{32}x = 0.
Definimos
u_1 = x,\qquad u_2 = x',
então
u_1' = u_2,\qquad u_2' = x'' = \frac{49}{32}u_2 - \frac{11}{32}u_1.
A matriz do sistema é
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{11}{32} & \dfrac{49}{32}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico. O polinômio correspondente à EDO (forma escalar) é
r^2 - \frac{49}{32}r + \frac{11}{32}=0,
ou multiplicando por 32 para evitar frações:
32r^2 - 49r + 11 = 0.
Usando a fórmula quadrática,
r = \frac{49\pm\sqrt{49^2 -4\cdot 32\cdot 11}}{2\cdot 32} = \frac{49\pm\sqrt{2401-1408}}{64} = \frac{49\pm\sqrt{993}}{64}.
Chamamos
\mu_1 = \frac{49+\sqrt{993}}{64},\qquad \mu_2 = \frac{49-\sqrt{993}}{64}.

Passo 11

Autovetores para cada \mu. Novamente, da primeira linha de (A-\mu I)v=0 vem
-\mu v_1 + v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2=\mu v_1.
Tomamos os autovetores
w^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\mu_1\end{pmatrix},\qquad w^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\mu_2\end{pmatrix}.]

Passo 12

Escrever a solução geral para x(t). Como os autovalores são distintos, a solução geral é
x(t)=K_1 e^{\mu_1 t} + K_2 e^{\mu_2 t},
onde \mu_1 e \mu_2 foram dados no passo anterior e K_1,K_2 são constantes arbitrárias (sem condições iniciais dadas, permanecem genéricas).

Resposta

y(t)=\frac{7+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\,e^{\frac{-3+\sqrt{13}}{2}t} +\frac{\sqrt{13}-7}{2\sqrt{13}}\,e^{\frac{-3-\sqrt{13}}{2}t}
x(t)=K_1 e^{\frac{49+\sqrt{993}}{64}t}+K_2 e^{\frac{49-\sqrt{993}}{64}t}

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