Determine a solução geral de
sabendo-se que o conjunto composto pelas funções
e
é conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada da EDL dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem. Sabemos que as soluções básicas da parte homogênea (quando o lado direito é zero) são
e
. Para encontrar a solução geral, vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea.
- Encontrar uma solução particular para a equação completa.
- Somar essas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a solução geral da equação homogênea é dada por uma combinação linear das soluções fundamentais:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. A ideia é supor uma forma para
que, quando substituída na equação diferencial, satisfaça a igualdade. Vamos olhar para o lado direito da equação, que é
. Isso sugere que tentaremos uma solução particular polinomial.
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 3, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
Onde
,
,
, e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Multiplicandopor :
- Terceiro termo:
Multiplicandopor :
Simplificando:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termo
:
- Termo
:
- Termo
:
- Termo
:
- Termo constante:
Portanto, a equação fica:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. No lado direito, temos apenas o termo
, portanto:
- Para
:
- Para
:
Sabendo que
:
-
Para
:
Já vimos que os termos decancelaram, então não precisamos nos preocupar. -
Para
:
- Termo constante:
Passo 8
Com os valores encontrados:
No entanto, notamos que na equação dos coeficientes, o termo
já foi cancelado, então precisamos ajustar nossa suposição inicial para incluir um termo que não conflite com a solução homogênea. Como
já está na solução homogênea, devemos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicidade.
Vamos então supor:
Repetindo o processo, mas para simplificar aqui, já que encontramos
e
, ajustamos nossa solução particular considerando os ajustes necessários.
Finalmente, como
,
,
, nossa solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.