Encontre a solução do PVI
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares, resolução de equações não homogêneas e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares, como o método dos coeficientes indeterminados ou a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $. A solução geral dessa equação é dada por:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa: $ y’’ + y = \sin(2 t) $. Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos que a solução particular tem a forma:
Passo 4
Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 5
Substituímos $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução geral da homogênea e da particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = \frac{1}{2} $:
Segundo, derivamos $ y(t) $:
Aplicamos $ y’(0) = \frac{1}{3} $:
Isso nos dá:
Resposta
A solução do problema é: