Encontre a solução do PVI

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares, resolução de equações não homogêneas e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares, como o método dos coeficientes indeterminados ou a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $. A solução geral dessa equação é dada por:
y'' + y = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa: $ y’’ + y = \sin(2 t) $. Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos que a solução particular tem a forma:
y'' + y = sin(2 t)

Passo 4

Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = -2 A sin(2 t) + 2 B cos(2 t)

Passo 5

Substituímos $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação original:
yp(t)
Isso simplifica para:
y'' + y = (-4 A cos(2 t) - 4 B sin(2 t)) + (A cos(2 t) + B sin(2 t)) = sin(2 t)
Ou seja:
(-4 A + A) cos(2 t) + (-4 B + B) sin(2 t) = sin(2 t)

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
-3 A = 0 Rightarrow A = 0
-3 B = 1 Rightarrow B = -13

Passo 7

Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 0 cdot cos(2 t) - 13 sin(2 t) = -13 sin(2 t)

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução geral da homogênea e da particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - 13 sin(2 t)

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = \frac{1}{2} $:
C1
Segundo, derivamos $ y(t) $:
C2
Aplicamos $ y’(0) = \frac{1}{3} $:
y(0) = 12
Isso nos dá:
y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) - 13 sin(0) = C1 = 12

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 12 cos(t) + sin(t) - 13 sin(2 t)

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