Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.
y^prime=x^2y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y' = x^2y
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos classificar se ela é de variáveis separáveis e, em caso afirmativo, resolver usando separação de variáveis.

Passo 2

Para verificar se é separável, escrevemos y' = dydx e obtemos
dydx = x^2y
Multiplicando ambos os lados por y e por dx, temos
y,dy = x^2,dx,
mostrando que as variáveis estão separadas (todos os y de um lado e todos os x do outro). Logo trata-se de uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral x^2,dx
No lado esquerdo,
integral y,dy = 12y^2,
e no lado direito,
integral x^2,dx = 13x^3 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados e isolando y, obtemos
12y^2 = 13x^3 + C Longrightarrow y^2 = 23x^3 + C'
(com C'=2C). Portanto, a solução geral é
y = pmraiz23x^3 + C'

Resposta

A EDO é de variáveis separáveis e sua solução geral é
y = pmraiz23x^3 + C'

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