Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.
d yd x=2 x+x y^24 y+x^2 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
dydx = 2x + x y^24y + x^2y
e pede que a classifiquemos e a resolvamos. Aqui o conteúdo é EDO de variáveis separáveis: o lado direito pode ser escrito como produto de função só de x pela função só de y.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para evidenciar a separação:
2x + x y^24y + x^2y = x(2 + y^2)y(4 + x^2) = 2 + y^2y;x4 + x^2

Passo 3

Separamos as variáveis, colocando termos em y de um lado e termos em x do outro:
y2 + y^2,dy = x4 + x^2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y2 + y^2,dy = integral x4 + x^2,dx
No lado esquerdo, com u = 2 + y^2, du = 2y,dy, fica
integral y2 + y^2,dy = tfrac12 integral duu = tfrac12 lnl|2 + y^2r|
No lado direito, com v = 4 + x^2, dv = 2x,dx, fica
integral x4 + x^2,dx = tfrac12 integral dvv = tfrac12 lnl|4 + x^2r|

Passo 5

Igualando as integrais e absorvendo constantes,
tfrac12 lnl|2 + y^2r| = tfrac12 lnl|4 + x^2r| + C ;Longrightarrow; lnl(2 + y^2r) = lnl(4 + x^2r) + C',
2 + y^2 = K,(4 + x^2), K = e^C'>0
Isolando y,
y^2 = K,(4 + x^2) - 2,
que é a solução geral implícita.

Resposta

Classificação: EDO de variáveis separáveis.
Solução geral:
y^2 = K,(x^2 + 4) - 2, KinR

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