Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx=x-e^-xy+e^x,
e pede para classificá-la e resolvê-la. Aqui percebemos que podemos escrever
(y+e^x),dydx=x-e^-x,
ou seja, todas as dependências em y ficam num lado e em x no outro. Logo é uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por dx e por y+e^x:
(y+e^x),dy=(x-e^-x),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado, lembrando que na integral à esquerda tratamos x como constante e na da direita y é constante:
integral (y+e^x),dy =integral y,dy+integral e^x,dy =y^22+y,e^x,
integral (x-e^-x),dx =integral x,dx-integral e^-x,dx =x^22+e^-x

Passo 4

Igualando as duas primitivas mais uma constante de integração C, obtemos a solução implícita:
y^22+y,e^x =x^22+e^-x+C

Resposta

boxedy^22+y,e^x=x^22+e^-x+C

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