Seja o seguinte problema de valor inícial envolvendo uma equação diferencial linear de
ordem com coeficientes constantes:
Faça o que se pede:
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Determine a solução do P.V.I.
b) Determine a solução do P.V.I.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes
com condição inicial
.
Conteúdo: EDO linear de 1ª ordem. Vamos (a) verificar se há soluções constantes (\emph{equilíbrios}) e (b) resolver o P.V.I. pelo método da solução homogênea + particular.
Conteúdo: EDO linear de 1ª ordem. Vamos (a) verificar se há soluções constantes (\emph{equilíbrios}) e (b) resolver o P.V.I. pelo método da solução homogênea + particular.
Passo 2
Para soluções constantes, supomos
(número fixo). Então
e a equação vira
Isso exigiria
para todo
, mas
varia com
. Logo não pode ser constante.
Passo 3
Agora a solução geral. Primeiro a homogênea
tem solução
Para uma particular, usamos coeficientes indeterminados: tentamos
Então
e substituindo em
dá
Assim
e a solução geral é
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Portanto
Resposta
(a) Não existem soluções constantes.
(b) A solução do P.V.I. é
(b) A solução do P.V.I. é