Seja o seguinte problema de valor inícial envolvendo uma equação diferencial linear de 1^{a} ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime}-2 y=e^{-t}, \quad y(0)=2 / 3
Faça o que se pede:
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Determine a solução do P.V.I.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes
y' - 2y = e^{-t}
com condição inicial y(0)=\tfrac{2}{3}.
Conteúdo: EDO linear de 1ª ordem. Vamos (a) verificar se há soluções constantes (\emph{equilíbrios}) e (b) resolver o P.V.I. pelo método da solução homogênea + particular.

Passo 2

Para soluções constantes, supomos y(t)=C (número fixo). Então y'=0 e a equação vira
0 - 2C = e^{-t}.
Isso exigiria -2C=e^{-t} para todo t, mas e^{-t} varia com t. Logo não pode ser constante.

Passo 3

Agora a solução geral. Primeiro a homogênea
y_h' - 2y_h = 0
tem solução
y_h(t) = Ce^{2t}.
Para uma particular, usamos coeficientes indeterminados: tentamos
y_p(t) = A e^{-t}.
Então
y_p' = -A e^{-t},
e substituindo em y' - 2y = e^{-t}
(-A e^{-t}) - 2(A e^{-t}) = e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad -3A e^{-t} = e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{1}{3}.
Assim
y_p(t) = -\tfrac{1}{3}e^{-t},
e a solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{2t} - \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=\tfrac{2}{3}:
y(0) = C\cdot e^{0} - \tfrac{1}{3}e^{0} = C - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad C = 1.
Portanto
y(t) = e^{2t} - \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Resposta

(a) Não existem soluções constantes.
(b) A solução do P.V.I. é
y(t) = e^{2t} - \frac{1}{3}e^{-t}.

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