Utilize o Método da Variação de Parâmetros para resolver a seguinte E.D.O.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\sqrt{x} \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a E.D.O.
y'' - 2y' + y = \sqrt{x}\,e^{x}.
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
temos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r-1)^2 = 0 \implies r=1\\ (\text{dupla}).
Logo duas soluções linearly independent são
y_1 = e^x, \qquad y_2 = x\,e^x.
A solução geral homogênea é
y_h = C_1\,e^x + C_2\,x\,e^x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções y_1,y_2:
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & x\,e^x \\[3pt] e^x & e^x + x\,e^x \end{vmatrix} = e^x\bigl(e^x + x\,e^x\bigr) - x\,e^x\cdot e^x = e^{2x}.]

Passo 4

Para variação de parâmetros tomamos
u_1' = -\,\frac{y_2\,f(x)}{W(x)}, \qquad u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W(x)},
onde f(x)=\sqrt{x}\,e^x. Substituindo,
u_1' = -\,\frac{x\,e^x\cdot\sqrt{x}\,e^x}{e^{2x}} = -\,x\,\sqrt{x} = -\,x^{3/2},
u_2' = \frac{e^x\cdot\sqrt{x}\,e^x}{e^{2x}} = \sqrt{x} = x^{1/2}.

Passo 5

Integramos para achar u_1,u_2:
u_1 = \int u_1'\,dx = -\int x^{3/2}\,dx = -\frac{2}{5}\,x^{5/2},
u_2 = \int u_2'\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{2}{5}x^{5/2}\Bigr)e^x + \Bigl(\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Bigr)\bigl(x\,e^x\bigr).
Agrupando x^{5/2}e^x,
y_p = \Bigl(-\tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{3}\Bigr)x^{5/2}e^x = \frac{4}{15}\,x^{5/2}\,e^x.

Passo 7

A solução geral da E.D.O. é
y = y_h + y_p = C_1\,e^x + C_2\,x\,e^x + \frac{4}{15}\,x^{5/2}\,e^x.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^x + \frac{4}{15}\,x^{5/2}\,e^x.

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