Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime+2 y=e^x
Escolha uma opção:
y=C e^-4 x+16 e^-2 x
y=C e^-x^22-x+e^-x^22-x integral e^x^22+x x^2 d x
O problema não possui solução
y=C e^2 x+e^-x(x^34-3 x^24+3 x4-38)
y=C e^-2 x+13 e^x
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar a solução geral para a equação diferencial $ y’ + 2y = e^{x} $. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação $ y’ + 2y = e^{x} $. Aqui, $ P(x) = 2 $ e $ Q(x) = e^{x} $.

Passo 3

O método do fator integrante envolve encontrar uma função multiplicadora, chamada fator integrante, que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x e^x = e^3x

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $:
e^2x y

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
integral ddx (e^2x y) dx = integral e^3x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{2x} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C e^-2x + 13 e^x

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