Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
O problema não possui solução
Nenhuma das demais alternativas
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O problema não possui solução
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar a solução geral para a equação diferencial $ y’ + 2y = e^{x} $. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação $ y’ + 2y = e^{x} $. Aqui, $ P(x) = 2 $ e $ Q(x) = e^{x} $.
Passo 3
O método do fator integrante envolve encontrar uma função multiplicadora, chamada fator integrante, que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{2x} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: