Determine a solução geral das seguintes EDOs.
\frac{d u}{d t}=\frac{1+u^{2}}{1+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
\frac{du}{dt} = \frac{1 + u^2}{1 + t^2}.
O conteúdo é EDO separável, ou seja, vamos separar as variáveis u e t e integrar.

Passo 2

Separe os termos em u de um lado e em t do outro:
\frac{du}{1 + u^2} = \frac{dt}{1 + t^2}.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dt}{1 + t^2}.
Como \int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan(x), resulta
\arctan(u) = \arctan(t) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplique a tangente em ambos os lados para isolar u:
u = \tan\bigl(\arctan(t) + C\bigr).
Reescrevendo com K = \tan\text{(C)}, fica
u = \frac{t + K}{1 - K\,t},
com K constante arbitrária.

Resposta

u(t) = \tan\bigl(\arctan(t) + C\bigr),
ou, equivalentemente,
u(t) = \frac{t + K}{1 - K\,t},
onde C (ou K) é a constante de integração.

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