(a) Mostre que uma EDO de Riccati com coeficientes constantes
\frac{d y}{d x}+a y^{2}+b y+c=0
tem uma solução da forma y=m, se e somente se m é uma raiz da equação a m^{2}+b m+c=0.
(b) Utilize o resultado acima para encontrar a solução geral da EDO:
y^{\prime}+y^{2}+3 y+2=0 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que a equação de Riccati com coeficientes constantes
\frac{dy}{dx} + a\,y^{2} + b\,y + c = 0
admite uma solução constante y=m se e somente se m é raiz da equação quadrática
a\,m^{2} + b\,m + c = 0.
(b) usar esse resultado para encontrar a solução geral da EDO
y' + y^{2} + 3\,y + 2 = 0.
Para resolver a parte (b) vamos primeiro achar as soluções constantes (raízes da quadrática) e depois aplicar a redução de ordem típica de Riccati, fazendo a substituição
y = m + \frac{1}{u(x)},
onde m é uma solução constante conhecida, de modo a obter uma EDO linear para u(x).

Passo 2

Procuramos solução constante y(x)=m. Nesse caso dy/dx=0, então a EDO fica
0 + a\,m^{2} + b\,m + c = 0.
Portanto, se y=m resolve a EDO, então m deve satisfazer
a\,m^{2} + b\,m + c = 0.
Reciprocamente, qualquer raiz m dessa equação quadrática dá uma função constante y(x)=m que satisfaz \frac{dy}{dx}=0 e anula o restante. Isso prova o “se e somente se”.

Passo 3

Aplicamos ao caso específico
y' + y^{2} + 3\,y + 2 = 0.
As soluções constantes vêm das raízes de
m^{2} + 3\,m + 2 = 0.
Fatorando,
m^{2} + 3\,m + 2 = (m+1)(m+2) = 0,
logo as raízes são
m_{1} = -1,\quad m_{2} = -2.

Passo 4

Escolhemos uma solução particular, digamos m=-1, e fazemos a substituição
y = -1 + \frac{1}{u(x)}.
Calculamos
y' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(-1 + \frac{1}{u}\Bigr) = -\frac{u'}{u^{2}}.
Substituindo na EDO original:
-\frac{u'}{u^{2}} + \Bigl(-1 + \frac{1}{u}\Bigr)^{2} + 3\Bigl(-1 + \frac{1}{u}\Bigr) + 2 = 0.
Expandindo e lembrando que (-1)^{2}+3(-1)+2=0, obtemos após simplificar:
-\frac{u'}{u^{2}} + \frac{2(-1)+3}{u} + \frac{1}{u^{2}} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; -\frac{u'}{u^{2}} + \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} = 0.
Multiplicando por u^{2}:
-\,u' + u + 1 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; u' - u = 1.

Passo 5

Resolvemos a EDO linear de primeira ordem
u' - u = 1.
O fator integrante é e^{-x}, pois \frac{d}{dx}(u\,e^{-x}) = (u' - u)e^{-x}. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-x}\bigr) = e^{-x} \;\;\Longrightarrow\;\; u\,e^{-x} = -\,e^{-x} + C \;\;\Longrightarrow\;\; u(x) = -1 + C\,e^{x}.

Passo 6

Voltando à substituição y = -1 + 1/u, temos
y(x) = -1 + \frac{1}{-1 + C\,e^{x}} = -1 + \frac{1}{C\,e^{x} - 1}.
Essa é a solução geral da EDO. Podemos reparametrizar a constante e escrever equivalently:
y(x) = -1 + \frac{1}{A\,e^{x} - 1},\quad A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

A solução geral de
y' + y^{2} + 3\,y + 2 = 0
é
\boxed{y(x) = -1 + \frac{1}{A\,e^{x} - 1},\quad A\text{ constante arbitrária.}}á

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