(a) Mostre que uma EDO de Riccati com coeficientes constantes
tem uma solução da forma
, se e somente se
é uma raiz da equação
.
(b) Utilize o resultado acima para encontrar a solução geral da EDO:
(b) Utilize o resultado acima para encontrar a solução geral da EDO:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que a equação de Riccati com coeficientes constantes
(a) mostrar que a equação de Riccati com coeficientes constantes
admite uma solução constante
se e somente se
é raiz da equação quadrática
(b) usar esse resultado para encontrar a solução geral da EDO
Para resolver a parte (b) vamos primeiro achar as soluções constantes (raízes da quadrática) e depois aplicar a redução de ordem típica de Riccati, fazendo a substituição
onde
é uma solução constante conhecida, de modo a obter uma EDO linear para
.
Passo 2
Procuramos solução constante
. Nesse caso
, então a EDO fica
Portanto, se
resolve a EDO, então
deve satisfazer
Reciprocamente, qualquer raiz
dessa equação quadrática dá uma função constante
que satisfaz
e anula o restante. Isso prova o “se e somente se”.
Passo 3
Aplicamos ao caso específico
As soluções constantes vêm das raízes de
Fatorando,
logo as raízes são
Passo 4
Escolhemos uma solução particular, digamos
, e fazemos a substituição
Calculamos
Substituindo na EDO original:
Expandindo e lembrando que
, obtemos após simplificar:
Multiplicando por
:
Passo 5
Resolvemos a EDO linear de primeira ordem
O fator integrante é
, pois
. Logo
Passo 6
Voltando à substituição
, temos
Essa é a solução geral da EDO. Podemos reparametrizar a constante e escrever equivalently:
Resposta
A solução geral de
é