Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, encontrar a solução geral; caso contrário, achar um fator integrante e então a solução. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos reescrever no formato
e testar se
.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial no formato
:
multiplicando tudo por
dá
Logo
Passo 3
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
Daí
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação exata é dada por
onde
é constante arbitrária.