Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
y-3 x^{2}-(4 y-x) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y - 3x^2 \;-\;(4y - x)\,\frac{dy}{dx} \;=\;0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, encontrar a solução geral; caso contrário, achar um fator integrante e então a solução. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos reescrever no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e testar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial no formato M\,dx+N\,dy=0:
y - 3x^2 \;-\;(4y - x)\,\frac{dy}{dx} = 0
multiplicando tudo por dx
(y - 3x^2)\,dx \;-\;(4y - x)\,dy = 0.
Logo
M(x,y) = y - 3x^2, \quad N(x,y) = -(4y - x) = x - 4y.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (y - 3x^2)\,dx = x\,y - x^3 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) \;=\;N(x,y) = x - 4y.
Daí
h'(y) = -4y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -2y^2.

Passo 6

Substituindo h(y) em \psi, obtemos a função potencial completa:
\psi(x,y) = x\,y - x^3 - 2y^2.
A solução geral da equação exata é dada por
\psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x\,y \;-\; x^{3} \;-\; 2\,y^{2} = C.

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